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§3. 



Das Verhalten der Integralkurven in der Umgebung einer singulären 

 Lösung vom Typus II (Grrenzkurven). 



Wir gehen aus von Gleichung 16) 



du 1 „__,„_,, , , i , 



dx a 



16) ^ = ± ■ W-^ ■ (g H + g x+ , u + g x+i u' +...) = -„ if'^ ■ P & «), 



wo. wie erwähnt, /. — (a — 1) > 1 ist und die g r Potenzreihen nach Potenzen 

 von (x — a) bezeichnen. Die Doppelreihe P (x, u) konvergiere innerhalb eines 

 vierfach ausgedehnten Gebietes, welches durch einen Kreis vom Radius r um 

 den Punkt x = a in der Ebene der komplexen Zahlen x und durch einen 

 Kreis vom Radius B, um den Punkt u = in der Ebene der komplexen 

 Zahlen u gegeben ist. Ist nun weiter P (x, u) so beschaffen, daß für alle 

 (x — a) und u des Bereiches 



| x — a | fS r — e 



25) 



und | m | < 12 — s, 



wie klein auch die positive Zahl s genommen werde, der absolute Betrag von 

 P (x. u) unter einer endlichen (von ? abhängigen) Schranke bleibt, also 



26) | Pfau) | <G S 



ist, so folgt aus bekannten Sätzen der Reihenlehre (vgl. einen Aufsatz von 

 P. Stäckel „Über Potenzreihen von mehreren Veränderlichen" ! )), daß die 

 Reihe P (x, u) als Doppelreihe absolut konvergiert und somit kon- 

 vergent bleibt, wenn man in den g v alle Koeffizienten durch ihre Absolut- 

 werte und ebenso (x — a) und u durch ihre absoluten Beträge ersetzt. Er- 

 setzen wir aber in den g v alle Koeffizienten durch ihre absoluten Beträge 

 und weiter noch den Wert (x — a) überall durch (r — e) — es mögen die so 

 aus den g r resultierenden Werte mit g,, bezeichnet werden: Dann ist durch- 

 weg für alle x des Bereiches \x — a\ fS r — e 



27) |^,| < g r 



x ) Jahresberichte der deutschen Mathematikervereiiiigung, Bd. 15 (1906), S. 585. 



