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und die Reihe 



28) - P(«, u) = g 1 + #*+, « + ^ « s + . . . 



a a a 



absolut konvergent für \u\ <L B — e. 



Jetzt vergleichen wir, und zwar mit Rücksicht auf unsere geometrische 

 Frage im Gebiet der reellen Variabein « und u, die Differentialgleichung 16) 



für positive reelle Werte von u mit der Differentialgleichung 



29) g ; = l ■ W-^ ■ (g x + g.^ u + g^ u* + . . .), 



a a a 



für negative reelle Werte von u mit der Differentialgleichung 



3 °) -^ = r ( - lt)x ~ la ~ ]) & - **** u + ä* w2 - • • ■>• 



a a a 



Diese Gleichungen definieren, in der Ebene der reellen Zahlen {%, u) ge- 

 deutet, an jeder Stelle x = x , u = u einen Richtungswinkel gegen die «- Achse, 

 welcher , wenn a von bis \B — s [ zunimmt , stetig von bis zu einem 

 Höchstwerte ansteigt bzw. wenn u von bis — I B — £ I abnimmt, stetig von 

 bis zu einem Minimalwert abfällt. Die durch die Gleichung 30) gegebenen, 

 für negative u geltenden Richtungen sind dabei mit Bezug auf die «-Achse 

 symmetrisch zu den durch die Gleichung 29) gegebenen Richtungen. Weiter 

 aber sind diese Neigungen gegen die «-Achse an jeder Stelle größer, höchstens 

 gleich den durch die Gleichung 16) gegebenen. Folgen wir also vom Punkte 

 x = « , u = ü aus der durch diesen Punkt hindurchlaufenden Integralkurve 

 von 16) mit wachsendem x, so liegt dieselbe von da ab innerhalb des Gültig- 

 keitsbereiches dieser Gleichung stets der «-Achse näher als die durch eben 

 diesen Punkt x , u gehende Integralkurve der Gleichung 29) bzw. 30). 



Um nun noch zu zeigen, daß die zueinander symmetrischen Integral- 

 kurven der Gleichungen 29) und 30) sich der Integralkurve u = in unserem 

 Bereich flacher und flacher werdend unbegrenzt annähern, wenn wir den Aus- 

 gangspunkt x = x Q , u = u mit abnehmendem u an die «-Achse heranrücken, 

 ziehen wir zwei weitere, aus 29) und 30) zu gewinnende, einfachste Differential- 

 gleichungen zum Vergleiche heran, die gleichfalls wieder für positive und 

 negative Werte von u je zur «-Achse symmetrische Richtungen definieren. 



Wir ändern zunächst den Maßstab in der Richtung u so, daß der neue 

 Konvergenzradius gleich 1 wird (eine Transformation, die natürlich nur 

 nötig ist, falls nicht von vornherein (B — e) ^ 1 ist), und setzen zu dem Ende 



31) u = v-(R — s), (B — «)<1. 



Abh. d. math.-phys. KL XXV, 4. Abh. 3 



