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Die gleiche Art der Annäherung der Integralkurven an die «-Achse gilt 

 nunmehr auch, wenn wir durch die Substitution 



31) u = v-(B — e) 



von 35) auf die durch die Differentialgleichung 16) 



1 6) *£ = l w-^ ■ fa + g^ u + g.^ u* + . . .) 



a a a 



in der (x ?0-Ebene definierten Kurven zurückgehen. Von diesen aber kommen 

 wir zu dem System der durch die ursprüngliche Differentialgleichung 9) 



9) —dir 1 = oAy- nf + ^ (y - '0 " + y*±s (y -n) a + • • ■ 



gegebenen Kurven in der (x ?/)-Ebene durch die Abbildung der (x «)-Ebene in 

 die (x ^/)-Ebene, welche durch die Gleichung 



11) y—r l = u a 



vermittelt wird. Für diese Abbildung haben wir die beiden Fälle a gerade 

 und u ungerade zu unterscheiden: 



Im ersteren Falle erscheinen für den Gültigkeitsbereich unserer Ent- 

 wickelungen die beiden Teile der (iK^)-Ebene längs der «-Achse für positive 

 und negative Werte von u auf die eine Seite y — ?/(«)> der Kurve 

 y — r i (x)= in der (x «/)-Ebene abgebildet und ist dieses Gebiet von den 

 Bildkurven von 16) doppelt überdeckt; wie umgekehrt den positiven reellen 

 Werten der Funktion y — r\ (x) zwei reelle Wurzeln« der Gleichung 11) ent- 

 sprechen. 



Im zweiten Falle wird für den Gültigkeitsbereich die positive Halbebene 

 (x, u) (für u > 0) auf das Gebiet y — i] (%) > 0, die negative Halbebene u < 

 auf das Gebiet y — rj (x) < abgebildet und beide Gebiete je von den Bild- 

 kurven von 16) einfach überdeckt, wie umgekehrt die Gleichung 11) für 

 jeden reellen Wert der Funktion y — // (x) eine und nur eine reelle Wurzel u 

 besitzt. 



Im Falle eines geraden a erscheint also die Kurve y — >](x) 

 = als zugleich singulare Lösung und partikuläres Integral 

 unserer Differentialgleichung als Grenzkurve im eigentlichen 

 Sinne, bis zu welcher hin die Kurven des allgemeinen Integrals 

 sich in doppelter Überdeckung des Gebietes y <— tj (o?) > und 

 mit asymptotischer Annäherung an die Grenzkurve (wenn es ge- 



