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§4. 



Darstellung der singulären Lösungen für eine Kurvenschar 



* {x, y, g) = 

 aus den Teilfaktoren der Diskriminante A dieser Gleichung. 



Knüpfen wir nunmehr die Darstellung der singulären Lösungen an die 

 Darstellung der Kurvenschar durch eine Gleichung 



cf> (x, y, z) = 0, 



welche einen Parameter z algebraisch im n ten Grade enthält, also an eine 

 Gleichung : 



52) * (x, y, z) = z n + B x »- 1 + B 2 z n ~* + . . . + B n = 0, 



in welcher die Koeffizienten B ly B 2 ■ ■ • B n nach ganzen, positiven Potenzen 

 von (x — a) und (y — b) fortschreitende, in der Umgebung des Wertepaares 

 x = a, y = b konvergente Reihen bezeichnen. 



Hamburger hat a. a. 0. (S. 227 u. ff.) gezeigt, daß sich in dieser Form 

 mit z als Integrationskonstante das allgemeine Integral unserer Differential- 

 gleichung 1) für die Umgebung eines Punktes (a, b) darstellen läßt. 



Sei nun 



53) y — tj (x) = 

 ein Zweig der Diskriminantenkurve 



54) 4=0, 



welche wir durch Elimination von z aus den beiden Gleichungen 



55) <f>(x,y,0) = 0, |f = 



erhalten und in welchem p Werte von s den Wert s = £ (x) annehmen mögen, 

 so gilt, wenn wir die Funktion <t> nach Potenzen von y — r\ (x), z — £ (x) ent- 

 wickeln, die Gleichung: 



56) &fay,z) = (y — 7i)-%(tf — ri,0 — Q + (0 — Q>-.£i(i, — ti,e-£) = 0, 



in welcher 5J$ und Q Potenzreihen nach ganzen Potenzen von y — r h z — L, be- 

 zeichnen, deren Koeffizienten noch von x abhängen und wobei £} für y — tj, 

 z — 'C nicht verschwindet. 



Abh. d. matb.-pbys. Kl. XXV, 4. Abb. 4 



