y. 



H-i 



r* (y — >?)" + y«+i (y - 



a a 



-r,)« + 



!*>■ 





26 



Schließen wir zunächst den Fall aus, daß sich die Funktion 'Q (x) längs 

 y = rj (x) auf eine Konstante reduziert, so ergibt sich (vgl. Hamburger, a. a. 0.) 

 für je o. Zweige der partikulären Integralkurven (a <^ p) eine Entwickelung 

 von z — £(x) nach Potenzen von ?/ — >] (x) in der Form 



57) s — t(x) 



Ist dann 

 58) 



so ist der Zweig y = /? (x) der Diskriminantenkurve kein Integral der 

 Differentialgleichung, sondern Ort von singulären Punkten der partikulären 



Integralkurven (für welche — und — — verschwinden), deren einzelne Zweige 



die Kurve y = rj (x) nicht berühren. 



Typus I der singulären Lösungen. 

 Für 



59) - < 1 



a 



berühren die Zweige der partikulären Integralkurven den Zweig der Dis- 

 kriminantenkurve und dieser ist daher eine singulare Lösung vom Typus I. 



Dabei tritt als einfachster Fall der hervor, daß in Gleichung 56) 

 mit y = i] (x), z = 'C(x) die Potenzreihe ty nicht zugleich verschwindet. Es 

 haben dann die partikulären Integrale <P = im allgemeinen längs jenes 

 Zweiges der Diskriminantenkurve keine singulären Punkte, ihre Zweige 

 gehen vielmehr mit ihr eine Berührung von der Ordnung p — 1 ein. 



Dabei verschwinden längs jenes Zweiges der Diskriminanten- 

 kurve mit <t> = einmal die Ableitungen 



60) äJ' J?>-~ J^r 



und ferner die sämtlichen Unterdeterminanten der p — 1-reihi- 

 gen Matrix: 



61) 



30 

 dx 



d°<p 



dX-ds 



d 3 <P 

 dx-ds 2 



d<P 



d 2 <P 



3 3 <P 



*y 



dy-dz 



dy-ds°- 



dx-dzp- 2 



3P- 1 (p 

 dy3z~p~=* 



