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 ergeben sich also längs y = rj, 3 = 3 die Bedingungsgleichungen: 



73) 



30 

 dz 



H,= 



30 

 3x 



d 2 



3x3z 



30 



3 2 



Jy 



3y3z 



= 0. 



30 30 



Im allgemeinen verschwinden dabei auch hier — und - — länes unserer 



p 3x 3y ° 



singulären Kurve nicht. Dies tritt vielmehr wieder nur ein, wenn dort 

 noch $ (y — ij, 3 — 3 ) verschwindet. Dabei handelt es sich aber nicht um 

 einen Ort singulärer Punkte wie im Falle des Typus I, sondern die Lösung 

 y = rj (x) tritt in diesem Falle nur, wie sogleich noch näher gezeigt werden 

 soll, im gewissen Sinne mehrfach zählend als zugleich singulare und partikuläre 

 Lösung auf. 



8 5. 



Geometrische Deutung auf der Fläche <P (x, y, 3) = 0. 



Die verschiedenen Fälle der singulären Lösungen von Typus I und II 

 (wie auch das Auftreten eines Ortes singulärer Punkte im Kurvensystem) 

 lassen sich besonders anschaulich überblicken, wenn wir in der bekannten 

 "Weise die Gleichung 



<P (x, y. 3) = 



in einem rechtwinkligen Koordinatensystem x, y, 3 als Fläche über der (x y)- 

 Ebene deuten. Die Kurvenschar (der partikulären Integrale) wird von der 

 Projektion der Horizontalschnitte 3 = const. dieser Fläche auf die (x y)- 

 Ebene gebildet. 



Die Diskriminantengleichung 

 54) ä = 



bezeichnet dann „im allgemeinen" einen Zylinder, welcher die Fläche <3& = 

 längs des in der Richtung der 3- Achse genommenen n Umrisses" berührt. Die 

 Umrißkurve auf <P = wird von den Horizontalschnitten 3 — const. in den 

 Punkten y = ? ; ■ (x), 3 = 'C, (x) geschnitten, in der Projektion einfach oder von 

 höherer Ordnung berührt (Typus I der singulären Lösung). Ist aber längs 

 eines Zweiges y — r\(x) der Umrißkurve überall 3 = 3 , so bildet 

 dieser Zweig eine zugleich partikuläre und singulare Lösung (Typus II). 



