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Weiter liegen auf A = alle singulären Linien der Fläche, längs welcher 



zugleich die Gleichungen 



30 3$ d(p 



74) <2> = 0, d -f = 0, ^ = 0, ~ = 



' dx 3y Sz 



erfüllt sind. Nach unseren Voraussetzungen über <P erscheint hier als die 

 zunächst sich darbietende Singularität die Doppelkurve, dann die Rückkehr- 

 kurve. Solange längs eines solchen Zweiges y = r\ (x) der Diskriminanten- 

 kurve, der im allgemeinen keine singulare Lösung ist, sich s =="£(%) nicht 

 auf eine Konstante reduziert, besitzen die Horizontalschnitte der Fläche, also 

 die partikulären Integrale, Doppel- bzw. Rückkehrpunkte. Dabei ist für den 

 Vergleich des allgemeinen Integrals <£> = und der Differentialgleichung F = 

 noch zu beachten, daß diese Doppelpunkte der partikulären Integralkurven 

 erst bei Betrachtung des Gesamtverlaufes der einzelnen Kurven in die Er- 

 scheinung treten, also wohl aus der Diskriminante J = von 4>, nicht aber 

 aus der Diskriminante JD = von F erhalten werden. Dagegen bezieht sich 

 das Auftreten von Rückkehrpunkten nicht bloß auf den Gesamtverlauf der 

 einzelnen Integralkurven, sondern bildet eine differentielle Eigenschaft der- 

 selben, so daß die Kurve der Rückkehrpunkte sowohl aus A ■= wie auch 

 aus D — erhalten wird ] ). 



Wir betrachten in unserer räumlichen Deutung noch den vorhin erwähnten 

 einfachsten Fall von Typus II (für p = 2), also die Gleichung: 



7 2) * (s, y, g) = (y — rj) • $ + (* — *o) s ■ D, 



wo % = Po + p i (y 



O = Qo + qi (y 

 und die n, q Potenzreihen nach (x- 



■ V) + P2 (* — 



*o) + 



■ n) + q 2 — 



*o) + 



x Q ) bedeuten. 





L ) Auch, umgekehrt können bekanntlich Eigenschaften des durch F = gegebenen Feldes von 

 Richtungen, welche im Verschwinden der zugehörigen Diskriminante D ihren Ausdruck finden, verloren 

 gehen bei Betrachtung des Verlaufes der einzelnen partikulären Integralkurven in = 0. So ver- 

 schwindet, wenn sich längs einer Kurve y = t] (a;) getrennte Zweige der Integralkurven <P = berühren, 

 wohl die Diskriminante D, nicht aber auch die Diskriminante/]. Darboux ist am Schlüsse seiner Ab- 

 handlung von 1S73 nur auf den „allgemeinen" Fall der Beziehung der Determinanten D und A zu einander 

 eingegangen, während Cayley (insbesondere in den Arbeiten „On the theory of the singular Solutions 

 of differential equations" im Messenger of Mathem. vom Jahre 1S72 und 77) und Casorati (vgl. die in 

 Darbouxs Bulletin des sciences rnath. vom Jahre 1879 und 81 abgedruckten Aufsätze Casoratis aus den 

 Jahren 1874—81) im besonderen die Bedeutung der einzelnen in verschiedener Multiplizität auftretenden 

 Faktoren der Diskriminanten D und A untersucht haben. Für die umfangreiche anschließende Literatur 

 vergleiche man den schon genannten Aufsatz von Roth enb erg. Es erscheinen bei diesen Formulierungen 

 neben den eigentlichen Enveloppen auch die zugleich singulären und partikulären Lösungen als gemein- 

 same Faktoren von D und A, ohne daß auf sie genauer eingegangen würde. Vielmehr ist das Haupt- 

 interesse aller dieser speziellen Untersuchungen auf die Charakterisierung der Orter singulärer Punkte 

 (Doppelpunkte, Spitzen, Berührungspunkte getrennter Integralkurven u. s. f.) gerichtet. 



