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§6. 

 Beispiele. 



1. Beispiel für den allgemeinen Typus IL 



Im Anschluß an die in § 3 gegebene Reihenentwickelung für die Differential- 

 gleichung F = ergeben sich unmittelbar Beispiele für den Typus II, für 

 welche die zugehörige Differentialgleichung möglichst einfach gestaltet 

 ist — so die dort besprochenen Gleichungen 47), 49) und 51). Für die ein- 

 fachsten Fälle der Gleichung <f> = 0, welche diesen Typus darstellen, greifen 

 wir auf die Gleichung 72) zurück: 



72) <£ (x, y, 0) = {y - ,j) ■ §ß + (z — z ü f -0=0. 



Wir setzen zunächst i] (x) = 0, so daß also die «-Achse zugleich singulare 

 und partikuläre Lösung wird. Ferner setzen wir z = 0. Wählen wir nun 

 weiter die Funktionen 5p und Q auf die einfachste Weise so, daß sie für y = 0, 

 # = 2 = nicht verschwinden, also etwa 



77) Sß = mx-\-nz, Q = l 1 ), 



so ergibt sich als einfachstes Beispiel für eine Kurvenschar, welche den 

 allgemeinen Typus II darstellt, die Gleichung 



78) * = y- (mx -\-na) + / == 0. 

 Die zugehörige Differentialgleichung lautet: 



79) F = mx 2 ■ y' 2 -j- y (2 mx — ir y) • y' -4- m y 2 = 0. 



Die Diskriminanten sind (wir sehen hier wie in den folgenden Beispielen von 

 Zahlenfaktoren ab): 



80) A = y ■ (4mx — n 2 y) 



und 



D = y 3 • (4 m x — rr y). 



Die Fläche <£> = ist ein Kegel zweiten Grades, dessen Horizontalschnitte 

 die Integralkurven bilden. Die Umrißlinie 4 mx — n 2 y = ist singulare Lösung 



a ) Für die umgekehrte Wahl 5ß = 1, £ = mx-j-nz. die auf eine Clairautsche Gleichung führt, 

 vgl. § S, Formel 104. 



