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§7. 

 Anschliessende Bemerkungen. 



1 . In der räumlichen Darstellung der Gleichung <£> (x, y, z) = lassen 

 sich nun auch am besten jene besonderen Beispiele zugleich partikulärer und 

 singulärer Lösungen kennzeichnen, bei welchen eine partikuläre Integralkurve 

 von einer Gruppe von Zweigen anderer partikulärer Integralkurven berührt 

 wird: Die Projektion eines Zweiges y = r\ (%), # = £(03) der Umriß- 

 kurve der Fläche <£> = auf die «(/-Ebene fällt zusammen mit 

 der Projektion eines Horizontalschnittes z = C u . 



Damit ist auch unmittelbar ersichtlich, daß jene Kurve y = tj (x) für das 

 Gebiet der Horizontalschnitte längs der Umrißkurve y = i] (x), z = 'C, (x) als 

 singulare Lösung, dagegen für das Gebiet y = r\ (x), z — z ü längs des einen 

 Horizontalschnittes als partikuläres Integral anzusehen ist. Die Bemerkung 

 in der Schef fers sehen Bearbeitung des Serretschen Lehrbuches 1 ), wonach 

 eine solche Lösung nur als singulare Lösung (Grenzlage), nicht auch als 

 partikuläres Integral bezeichnet werden dürfe, läßt sich nicht aufrechterhalten. 

 Wir setzen das Cauchysche Beispiel der Parabelschar 



92) y = z-(x—z 2 ) 

 hierher, die der Differentialgleichung 



93) y' 3 — 4xyy'+8f=Q 



entspricht. (Fig. 21). Die von den Parabeln einfach bzw. dreifach bedeckten Ge- 

 biete sind dann, wenn wir jedesmal den Zusammenhang der einzelnen Blätter 



die Kurve 



(r 



j- 3 ) = 0, 



die sich für z = ergibt, in dem System der Kurven 6 ter Ordnung^ 

 welches die Gesamtheit darstellt, eine doppelt zu zählende parti- 

 kuläre Integralkurve. Es fallen in ihr, wie Fig. 20 zeigt, je zwei 

 Zweige der Nachbarkurven (für z = -\- AC oberhalb, für z = — A C 

 unterhalb der a-Achse) zusammen. Dagegen ergibt sich für die 

 Diskriminanten lediglich : 



D = x-y, 



A — x 3 • y. 



Die a:-Achse ist singulare Lösung (Enveloppe), während die «/-Achse 

 einen Ort von Rückkehrpunkten darstellt. 

 J ) Band III § 712. 



