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Die letztere Bedingung liefert aber offenbar keine singulären Kurven. 

 Sie besagt nur, daß das Kurvensystem <f> — mit änderndem z in einzelnen 

 Abschnitten mehrfach durchlaufen wird und also die Fläche 4>(x,y,z) = 

 abschnittweise aus den gleichen Horizontalschnitten aufgebaut ist, wie 

 *¥{x, y, t) = 0, wobei dann die einzelnen Abschnitte längs Umrißkurven in 

 einander übergehen, die für das ganze Kurvensystem lediglich die Rolle von 

 partikulären Integralkurven spielen. Auch Doppelkurven, Rückkehrkurven 

 u. s. w. können dann in einer solchen Fläche <f> = auftreten, die doch für 

 die Schar der Integralkurven als unwesentliche (hebbare) singu- 

 lare Linien zu gelten haben. So beachte man, um nur das einfachste 

 Beispiel anzuführen, daß die Schar der konzentrischen Kreise 



x- + r — t = o 



auf jeder beliebigen Rotationsfläche um die z Achse 



x- + y 1 — (f (z) = 



sich anordnen läßt, bei welcher je nach der Wahl des Meridians beliebige 

 der Kreise als Umrißkurven, mehrfachzählende Kurven u. s. w. auftreten können. 



§8. 

 Die Clairautsche Gleichung. 



Legen wir die Clairautsche Gleichung in der Form 



99) y-*y' + f(y l ) = o 



zu Grunde, so ist das allgemeine Integral durch die Geradenschar 

 100) y — xz + f(z)=0 



gegeben. Die Kurve 



\x = r (2) 



101) 



\y = z : f'{z)-f{z) 



ist die Umhüllungskurve der Geradenschar, also singulare Lösung vom Typus I. 

 Man hebt sie in der Regel als die einzige singulare Lösung hervor 1 ) und 

 ich habe in der Literatur nirgends eine Bemerkung über das Auftreten 

 anderer singulärer Lösungen der C 1 air au t sehen Gleichung finden können. 

 Sie sind wohl deshalb unbeachtet geblieben, weil man außer Acht ließ, daß 



*) So z. B. in Serrets Lehrbuch, 3. Aufl., Band 3, Nr. 720. 



