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die in der Form 97) vorliegende Gleichung nach y — xy' aufgelöst ist, 

 f(y') also im allgemeinen keineswegs vom Charakter einer rationalen ganzen 

 Funktion in y' angenommen werden darf, auch wenn man die allgemeinere 

 Form 



102) F{y — xy', y') = 



der Gleichung als ganze Funktion in y — xy' und y' voraussetzt. 



Es gilt aber der Satz: 



Jede Wendetangente der Umhüllungskurve 99) — wenn wir 

 von höheren Klassensingularitäten absehen — stellt eine zu- 

 gleich singulare und partikuläre Lösung der Clairautschen 

 Gleichung dar. 



Die Bedingung für das Auftreten eines Wendepunktes in der Umhüllungs- 

 kurve ist f"{z) = ck. Legen wir den Wendepunkt nach x = 0, y = und 

 machen die Gerade y = zur Wendetangente, so läßt sich für die Umgebung 

 dieser Wendetangente die Funktion f(y') in eine nach positiven Potenzen von 

 y'* fortschreitende Reihe entwickeln, deren erstes Glied a • y'* ist. In erster 

 Annäherung wird also das Verhalten der Integralkurven in der Umgebung 

 der Wendetangente bezeichnet durch die Differentialgleichung 



103) y — xy''+ay'* = Q 



oder, in rationaler Form geschrieben, durch 



(y-xy'y-a*y' 3 = 0. 



Die Umhüllungskurve 



104) 



4 ! 3 A 



und die zugleich singulare und partikuläre Lösung y = teilen die Ebene 

 (vgl. Fig. 24) in vier Gebiete, die dreifach, bzw. einfach von den Geraden der 

 Schar bedeckt werden. 



Fig. 24. 



