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§9. 

 Die Krümmungskreise einer ebenen Kurve. 



Es gilt der Satz: 



In der Gesamtheit der Krümmungskreise einer ebenen Kurve 

 bilden die vierpunktig berührenden Krümmungskreise zugleich 

 singulare und partikuläre Lösungen vom allgemeinen Typus II. 



Es sei 



108) T=f(X) 



die Gleichung der gegebenen Kurve, ferner bezeichne x, y die Koordinaten 

 eines Punktes auf einem beliebigen Krümmungskreis. Führen wir dann die 

 X-Koordinate des Berührungspunktes von Kurve und Krümmungskreis als 

 Parameter X = z ein, so ist 



109) ^(x,y,e) = 



= [r (*y ■(*-*) + (! + r- oo) • r m* + 



+ \f(*) ■ (y - m) - (i + rm - [i + r .(*)]■ = o 



die Gleichung für das System der Krümmungskreise. Ist X = s Q , Y = f(z ) 

 ein Punkt mit vierpunktig berührenden Krümmungskreise, so ist bekanntlich 

 (für z = z ) 



110) 3f .f r ' 2 -(lJ F J").r'= 0. 



Entwickeln wir nun für die Umgebung eines beliebigen auf diesem vier- 

 punktig berührenden Kreis gelegenen Punktes x Q , y , z die Fläche <£>(x,y,z) = 0, 

 so ergeben sich zufolge der Bedingung 110) sofort die Beziehungen 



HD 



r 



°^ 9 f 1 1 i 



'dz ' -' 



• 4> 



r 



^ 9^777 

 dx-dz ' ~ ' 



d<P 



dX 



r 



9 2 $ — 



_ 9 f" 



30 



'dy 



so daß also längs des vierpunktig berührenden Krümmungskreises z = z 



die Gleichungen 



