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112) 



<P = 0, 



Ja 



= und 



d$ 



d 2 



dX 



dxdz 



2<t> 



d*& 



dy 



dydz 



= 



gelten, in Übereinstimmung mit den in Gleichung (73) gegebenen Bedingungen. 

 Da keine weiteren Ableitungen von <i> nach z und keine weiteren Deter- 

 minanten der Matrix 61 verschwinden, ergibt sich der Kreis als zugleich 

 singulare und partikuläre Lösung vom allgemeinen Typus II. 



Wir legen, um noch für <£> (x, y, s) die Reihenentwickelung in einfachster 

 Form aufzustellen, für die gegebene Kurve die Gleichung: 



113) 



Y = f(X) 



^,r + ^r + 



zu Grunde (wo die vierpunktige Berührung in X Q = 0, Y Q = statthat und 

 die Bedingung 110) sich auf a 3 — reduziert). Dann ist 





o 



der vierpunktig berührende Krümmungskreis, oder ein Zweig desselben 

 114) 



y — r] ( x ) = y — 



1 ± 1/1 — 



ar, X' 



a. 



0. 



Dann wird längs y — rj(x) = der Parameter z = und man findet, in 

 Übereinstimmung mit Formel 72: 



115) 



* (%, y, b) = {y — 7} (x)) • [± 2 a. 2 Vi — 4 x l -\- a \-(y — ri (x))] 



+ *' • D (y — v, *) 



wo 5p und D für y = rj (x), z = nicht verschwinden. 



Figur 26 gibt die Darstellung der Krümmungskreise für die Parabel 

 Y 2 = ^ a 2 X 2 , welche von höheren Singularitäten abgesehen, auch den all- 

 gemeinen Fall für die Umgebung des Scheitels einer beliebigen Kurve kenn- 

 zeichnet. Man ersieht aus der Figur, wie aus einfacher Rechnung, daß der 

 ausgezeichnete Krümmungskreis die benachbarten Krümmungskreise in zwei 

 in erster Annäherung symmetrisch liegende Reihen von Kreisen K' und K" 

 trennt, deren eine auf der einen Seite des Scheitelpunktes, deren andere auf 

 der anderen Seite die Kurve oskulieren. Jeder Kreis K wird von einer Teil- 

 reihe von Kreisen K" geschnitten, die zwischen zwei den Kreis K' berührenden 

 Kreisen liegen und umgekehrt. So entsteht längs des Gebietes des ausge- 

 zeichneten Krümmungskreises die doppelte Überdeckung der Ebene durch 



