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oder, indem wir 



116) 



setzen : 



y = w 



117) 



du 

 dx 



= i &i + i 9\ u + I ^i ^ 



beziehungsweise 



118) 



du 

 dx 



iffiu + iffzu 2 + 



für Typus I, 



für Typus II. 



Bei der quadratischen Abbildung 116) gehen nun die wesentlich singu- 

 lären Stellen des Integralsystems der x y Ebene in solche der x u Ebene über. 

 Für diese hört dann die Giltigkeit der Entwickelungen 117) bzw. 118) auf. 

 Sei x = 0, u = eine solche singulare Stelle, so nehmen wir an, daß an 

 dieser Stelle eine Entwickeluns: von der Form 



119) 



du 



P (x, u) 



dx Q (x, u) 



gilt, in welcher P und Q konvergente Potenzreihen bezeichnen, die für x = 0, 

 u = den Wert Null annehmen. Setzen wir im einfachsten Fall 



120) 



du 

 dx 



a 2 x -\- b t u 

 a l x -j-b 1 u' 



Es handelt sich dann um die bekannten drei Formen singulärer Punkte, die 

 nach dem Charakter der Wurzeln /. der Determinante 



121) 



a, — l a., 

 b l b, — /- 



als Spiralpunkte, Sattelpunkte und Knotenpunkte zu unterscheiden sind. Führen 

 wir in 120) die Transformation % = x, u = y* aus und entwickeln für die 

 Umgebung einer allgemeinen Stelle x = x (x + 0), y = auf der singulären 

 Geraden y' nach Potenzen von y, so folgt: 



122) y' = — ty* + 



2a 2„.i 1 2 ( g l&2~ Ml) 



y — 



2{a l \ — a 2 b 1 )-b 1 



y' + 



wobei die Koeffizienten an jeder Stelle x + als Potenzreihen von {% — x ) 

 darstellbar sind. 



