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Im „allgemeinen" ist hiedurch die Gerade y = als singulare 

 Lösung vom Typus I charakterisiert (Gleichung 17a), während 

 für a, = (Gleichung 18a) eine singulare Lösung vom Typus II 

 vorliegt. 



Um im ersteren Falle das Verhalten der Integralkurven für die Um- 

 gebung des singulären Punktes x = zu charakterisieren, kann man an die 

 analoge quadratische Transformation der in der Ebene (x, u) liegenden singu- 

 lären Punkte anknüpfen, die ich in der obengenannten Abhandlung 1 ) ausge- 

 führt habe. Dort handelte es sich darum, die Gleichung 120) durch x = x, 



du 

 a { x -j- bi u = y l - zu transformieren, wo also längs a, x -j- b x u = -=- = op ist. 



Dadurch ergeben sich, entsprechend den Durchschnittsstellen der Integral- 

 kurven mit dieser Geraden a x x -j- b x u = 0, in der Abbildung Spitzen längs 

 y = 0. 



Im vorliegenden Falle der Abbildung x = x, u = y* tritt dies ein für 

 a, = 0, wo dann die an Stelle von 122) tretende Gleichung 



123) y=x x + X y 



die singulare Gerade y = als Spitzenort charakterisiert. Hier gelten also 

 die in jener Abhandlung hergeleiteten Figuren (Tafel I — III) für den Verlauf 

 der Integralkurven in der Umgebung der singulären Stelle. Für kleine Werte 

 von «! ändern sich diese Figuren dahin ab, daß an Stelle der Spitzen auf 

 y = Berührungen der Integralkurven mit der singulären Linie treten, 

 ohne daß der Gesamtverlauf des Kurvensystems im übrigen eine wesentliche 

 Veränderung erfährt. Wir verzichten daher hier auf eine graphische Dar- 

 stellung. 



Dagegen sei noch der Verlauf des Integralsystems für den Fall 

 a, = dargestellt, in welchem die singulare Linie y = eine zugleich singu- 

 lare und partikuläre Lösung (vom Typus II) darstellt. 



Der Fall ist dadurch gekennzeichnet, daß in der Ebene (x u) die eine 

 der beiden durch den singulären Punkt hindurchgehenden Geraden mit u = 

 selbst zusammenfällt. Dadurch scheidet der „ Spiralpunkt ", in welchem jene 

 beiden Geraden imaginär sind, aus. Die Differentialgleichung 



J24) du h u 



dx a 1 x -\- b 1 u 



*) Sitzungsberichte der Münchener Akademie vom Jahre 1891, S. 35. In jenen Tafeln I — III ist 

 der Spitzenort durch eine Parabel gebildet, was hier durch die Annahme >; {x) = vermieden ist. 



