Fucas: Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen. 223 
M(y)-P(y) für eine willkürliche Function y von x ein vollständiger 
Differentialquotient werde. Seien P’(y), M’(y) die zu P(y), M(y) be- 
züglich adjungirten Differentialausdrücke, so ergiebt sich aus den Ent- 
wickelungen (Sitzungsberichte 1888, S.1273-74). dass auch 
y-P'(M(y)) 
ein vollständiger Differentialguotient werden muss, wofür die Identität 
(1.) P(My)+M(Piy)=o 
die nothwendige und hinreichende Bedingung ist. 
Aus derselben folgt, dass für eine Lösung y der Gleichung 
(2.) Py)=P 
der Ausdruck M(y) der adjungirten Differentialgleicehung genügt. 
Die Gleichung (1.) ist nur erfüllbar, wenn die Summe der Ord- 
nungszahlen von P(y) und M(y) eine ungerade Zahl ist. 
Setzen wir 
(A.) Py)=M"+Ppy""+...+99» 
wo y" die A“ Ableitung nach x bedeuten soll, und 
(B.) Myz=2]n.. ur EIER. 
so muss demnach die Ordnungszahl der höchsten nicht ver- 
schwindenden Ableitung in M(y) die Form haben n— ı—2x, 
wo x Null oder eine ganze positive Zahl bedeutet. 
Sei 
(©) Z=/My Piy)de=SyP(Mly))de+ B(y, My) 
Nn—I 
=», .Ray”y9, Ro Ras 
wo B(w,v) einen bilinearen Ausdruck von %,v bedeutet, dessen Coeffi- 
eienten sich rational aus den Coeffieienten von P(y) und ihren Ab- 
leitungen zusammensetzen (vergl. Sitzungsberichte 1888, S. 1273), und 
wo R,; solche Funetionen von x sind, dass die Gleichung 
oz 
(D.) 7, = My Pi 
Er 
für jede Funetion y von & befriedigt wird. Aus (D.) ergiebt sich 
zur Bestimmung der R,, das System von Differentialgleichungen 
OR,.s 
2 — Se a ve DR + Ru-,8. Pa—a 
= nn 
( TEE Pa 
Wo die R mit einem negativen Index durch Null zu ersetzen sind. 
