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Über die Gauss’sche Theorie des arithmetisch- 
geometrischen Mittels und ihre Beziehungen 
zur Theorie der elliptischen Modulfunction. 
Von Prof. Dr. LupwıG ScHLESINGER 
in Klausenburg. 
(Vorgelegt von Hrn. Fucns.) 
As Hr. Herute in seiner Abhandlung »Sur la theorie des “quations 
modulaires ete.« (Paris 18 59) die elliptische Modulfunetion als selb- 
ständige Transcendente in die Analysis einführte, ging er von den der 
Theorie der elliptischen Funetionen entnommenen Darstellungen des Mo- 
duls 4° durch die Nullwerthe der Jacosr’schen Thetafunetionen aus und 
gelangte auf diese Weise zu einigen der fundamentalen Eigenschaften 
der Modulfunetion. Dass sich aus der gedachten Darstellung eine voll- 
ständige Theorie der Modulfunction ableiten lässt, hat namentlich Hr. 
DEDEKInD! gezeigt, es erscheint darum wünschenswerth, eine Methode 
zu besitzen, die direet von den completten Integralen erster Gattung 
aus, ohne Zuhülfenahme der durch die Umkehrung des Integrales erster 
Gattung mit veränderlicher oberer Grenze hervorgehenden elli- 
ptischen Transcendente, zu jener Darstellung führt. Die Gauss’sche 
Theorie des arithmetisch- geometrischen Mittels? bietet eine solche Me- 
thode dar’ und führt auf diese Weise zu einer Theorie der Modul- 
funetion, die, auch abgesehen von ihrem historischen Interesse, neben 
der auf die Untersuchung der Lesenper’schen Differentialgleichung‘ 
gegründeten Theorie dieser Function von hervorragender Bedeutung 
zu sein scheint. 
Im Folgenden wird versucht, im engsten Anschlusse an Gauss die 
Grundzüge dieser Methode zu entwickeln; nur an zwei Stellen (auf wel- 
che im Verlaufe der Darstellung hingewiesen werden wird) muss von 
Betrachtungen Gebrauch gemacht werden, die in dem von SCHERING 
veröffentlichten Gauss’schen Nachlasse nicht vorkommen. 
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