SCHLESINGER: Zur Theorie der Modulfunetion, 347 
E 
Wir schreiben das complette elliptische Integral erster Gattung 
in der Form 
; dx I * de I 
SE RR = A, 
K (A) pr — f’) (1 Bu Ra) er Ar D’ sin’ & a 
wo also 
C 
zs=asindg, k=—, C=d—P 
a 
gesetzt wurde, dann verwandelt sich durch Anwendung der Lanpex- 
schen Transformation ' 
ce sind cos & 
a—b Ya cos’ + sin’o 
sind, = 
das Integral A in 
(1.) 
4 Be 2 do, de A, 
Va, cos’®, + bi sin’®, 
woselbst 
ad, = Er b, == Vab. 
2 
Das Integral A bleibt also? ungeändert, wenn man an die Stelle 
von a,b das arithmetische bez. das geometrische Mittel dieser beiden 
Grössen setzt. i 
Durch wiederholte Anwendung dieser Transformation entsteht der 
Algorithmus 
i b = ... 
(2.) d,4ı = . , B; — Va,b,; ee I, 2,.».) 
Wo wir 
a=G0; Geh, 
als beliebige reale positive Grössen, 
(3.) a>b, 
und sowohl in dem Ausdrucke für d,,, als auch in 
(4-) „=V&—b 
die Quadratwurzel positiv wählen wollen. 
en Sy 
‘ Philosophical Transactions of the Royal Society, 1775» RS 
Lac a Memoires de l’Academie royale de ge Aldi PA3T I TAN 
Werke Il, S.352 (Commentationes Soe. Gott. rec. Vol. IV, 1818) 
