SCHLESINGER: Zur Theorie der Modulfunction. 355 
Da a,b real positiv sind, ist 9 kleiner wie Eins, ferner ist, wenn wir 
N (au, bn) 
— 7 ——————— 
gm M (an, cn) 
setzen, 
a r na / 0; 
(5.) = q ’ nr In (91) ER \ M(a,, b,)" 
Nehmen wir also in der ersten der Entwickelungen (2.)n=o und 
dividiren auf beiden Seiten durch YM(a,b), so ergiebt sich 
ı = P(q) — R(g’) — R(g')—... 
oder 
(6.) PQ=1+R(g’)+R(')+..., 
und ebenso folgt aus der zweiten der Entwickelungen (2.) 
(7.) U) =1—R(g’) + RP") +... 
Erheben wir die Gleichung (4.) in die (2””")" Potenz, so ergiebt sich 
4 N EEE 
eig % On er >, ee ’ 
ae Pa es 
x M (a,, b,) A, On+ı nr: 
und folglich da 
im FED = Yen... 
Una 
ist, mit Rücksicht auf (5.) 
imsg,'Rq)= 1, 
so dass wir 
R() = 2g'(1+[g) 
Setzen können, wo [9] eine mit g verschwindende Grösse bedeutet. 
Es handelt sich nunmehr darum, über den analytischen Charakter 
der Grösse [7] Aufschluss zu gewinnen. Für diese Untersuchung findet 
Sich in dem von Schrrine herausgegebenen Gauss’schen Nachlasse auch 
kein Fingerzeig. Wenn man jedoch die Entwickelungen von Ä(#°) ne 
Kl ) in der Umgebung von = o zu Hülfe nimmt, so findet man‘, 
dass [9] in der Umgebung von g= 0 nach positiven ganzen Potenzen 
von q entwickelbar ist. 
Wir haben also 
Ri) = 21 +dg + P+,P +: ad inf.), 
(8.) ' Vergl. z.B. Fucas, Crerxe’s Journal Bd. 83, S.25— 30, Nr.6 Gleichungen (2.), 
"h (9.). 
