SCHLESINGER: Zur Theorie der Modulfunetion. 357 
Es ist 
2 2 2 
re — n +n,+n’+n 
yer ri 
(Rn, N.,0,4) 
2 2 2 2 
(2.) \ *(q) u 3 Rt re 
(nn Napa, n,) 
(My nz, 0,0, =—8,...+00) 
und folglich 
2 2 2 2 
nn n+n,+n+n, 
(3.) Pin 9) ei q n+n,+n,+n, = ı (mod 2) 
x (Rn, Nz,n,) 
Da mn +n2+n}-+n} eine ungerade Zahl ist, so sind! unter den 
"1, 0,,N,,n, entweder eine ungerade und drei gerade oder drei un- 
gerade und eine gerade, je nachdem 
4 4 > 
= y=1I oder > n, = 3 (mod 4) 
kr 
Kae 
ns 
ist. Betrachten wir ferner 
(4.) R*(q) I gtienı + 1° + (am, +1)? + (an; +1)’ + (am, +1?) 
(n,, N», 7,) 
s0 ist der Exponent von q stets eine ganze ungerade Zahl. 
Seien a, b,c,d,a,ß,y, reale ganze Zahlen, so ist wie man 
leicht verifieirt? 
++ +) + HrY +9) = (a8 +0 — ddy 
+ (da + aß + dy + 8) +(ay + b8 — cu + dB” + (y— ad + cd — da)’; 
nehmen wir nun = 1 ‚B=-—I,y=ı1,d=1, so ergiebt sich 
Kerr ++) = (a +b+c—d?’ +b—a+d+o) 
+(a +b—c+d’+(a—b+d+o), 
= (b+c—d— oa’ +(la+b+c+d) 
+hb+d—a— ’+(d+c—a—b). 
Also entsprechen jeder Zerlegung einer Zahl s in eine Summe von 
vier Quadraten zwei ebensolche Zerlegungen von 4s, und zwar ist für 
ein ungerades s in beiden Zerlegungen von 4s jedes der Quadrate eine 
ngerade Zahl. Hat man umgekehrt 4s als Summe von vier ungeraden 
Quadraten dargestellt 
As == wrntutu, 
SO setzen wir, wenn wH+u,+ u, + u, = 2(mod 4) ist, 
—a+lb+c+d=u, a—b+.+d=u, 
a+b—c+d=u, a+b+c—d=u, 
Fre REN RN 
' Vergl. für das Folgende z.B. Vauten, Crerre’s Journal Bd. ı12, S. 27 ff. 
. Gauss, 2.2.0. 
