252 JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



P (il) ( d Ií) 



^=2i.2...,^x-^Lx u f ; X..-X 



^ p $ 



da; dy 1.2... a (1.2) 1.2... (3 



x — W 



(1.2... w) 1.2...). 



sendo 



a+2^+3y + ...+w/=e, « + P + y+ . . . -R=ô-f l=p; 



logo, comparando com a precedente, vem A, e depois subslituindo-o na 

 formula geral 



— .0.(9') (9"; ...(0 )J 



b 

 d 

 1.2. ..« 



i b 



d u dt 



i « (3 1 



dx i.2...aXl.2...£X...Xl.2.../X(1.2) (1.2.3) ...(1.2. ..n) 



Temos assim a expressão geral da derivada de u relativamente a x. 

 Para achar agora o desenvolvimento de u em serie ordenada se- 

 gundo as potencias de x, temos de applicar a formula de Maclaurin 



, fdu\ 1 /d 2 u\ a 1 /d?u\ ; , 



U = tto+( — )x + —(-^)xZ + —r(—)xS+.... 



\dx/o 2 \dx 2 /o |2.3\dJJ 3 /o 



e por tanto os coefficientes são dados pelas formulas precedentes fa- 

 zendo ahi x=0. Para isso vem primeiro 



d u 



u=f(t), y=l, — =f (í). 



Depois as formulas 



n — 1 



Q=<?i(y)+2xaz(y)-t- ...-\-nx ? (y) 



n 



