8 JORNAL DE SCIKNCIAS MATHEMATICAS 



cada um dos objectos, que entram n'uma das combinações, que formá- 

 mos com os m — r objectos, teremos 



(a+6^y+ : ....+ i)(a+6-4.y+.'.. + 2)...n 



arranjos. Procedendo do mesmo modo com qualquer dos arranjos com- 

 binado com cada um dos productos differentes, obteem-se todos os ar- 

 ranjos, em que estão repetidos os objectos reunidos na combinação 

 abe. . . 



P 



m — r 



X c 



P a .P g .P r ..— ^.-«_6- T -... 



Applicando o mesmo discurso á combinação bcd... acha-se que 

 os arranjos em que entram os objectos b, c, d, . . . repetidos, são em 

 numero 



P 



Semelhantemente se acha o numero de arranjos correspondentes 

 a todas as outras combinações dos r objectos tomados p a p. Som- 

 mando todos estes números, teem-se a expressão 



p n x\ ;-; ~p" T ~ -• + ;~pT *—• +**. <& 



que designa a totalidade dos arranjos n a n, com repetição de p dos r 

 objectos, não podendo cada um d'estes r objectos entrar em cada ar- 

 ranjo senão um determinado numero de vezes. O numero de termos 



d'esla expressão é C . 



p 



8. — Quando todos os objectos repetidos entram o mesmo numero 

 de vezes n' em cada arranjo, isto é, quando 



a formula (5) transforma-se em 



m ~ r c 



PXC X 7 n z 



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