14 JORNAL DE SC1ENCIAS MATHEMATICAS 



Imaginemos, pois, que temos todos os arranjos n a n que é pos- 

 sível formar com m objectos, de sorte que em cada um entrem r ob- 

 jectos designados, e que d'estes r objectos o primeiro, por exemplo, 

 seja tomado a vezes, o segundo 6 vezes, etc. 



Dispondo todos estes arranjos em diversas linhas horisontaes, de 

 modo que fiquem em cada linha todos os que forem compostos dos 

 mesmos objectos e que os que pertencerem a linhas diversas diffíram 

 pela natureza d'um ou mais objectos, teremos evidentemente tantas li- 

 nhas horisontaes, quantas as combinações n a n, que se podem fazer 

 com m objectos repetindo r pelo modo acima indicado. E como cada 

 uma das linhas horisontaes tem (§ 6) 



P a' P ê" mP X 



arranjos, segue-se que basta dividir a formula (2) por esta fracção para 

 se obter o numero 



[X] 



in — r 



n — <x — b — 

 a, g, . . X 



c , (12) 



de combinações de m objectos n a n com a condição de r d'aquelles 

 objectos estarem repetidos em todas ellas. 



N'esta formula podem suppôr-se eguaes a 1 quaesquer dos núme- 

 ros a, (3, . . ./. Se todos elles o forem ter-se-ha 



M 



C (13) 



n — r 



1,1,.. i 



E é claro que esta egualdade designa quantas das combinações n 

 a n, que se podem formar com m objectos, contém r d'esses objectos 

 sem repetição. 



Procedendo analogamente com os termos da formula (5) achare- 

 mos a seguinte expressão 



m — r m — r 



C ■■■- + C . + etc... (14) 



« — a — 6 — -y — ... TO _g_^. _§•_...' x ' 



pela qual determinaremos, quantas das combinações »a» formadas com 



