PHYSICAS E NATURAES 17 



e finalmente, se advertirmos que é, 



m m — 1 to — 1 m — 1 



C= C + C e C =1 



n ii n — 1 



teremos 



í~m ~l to — 1 m — 1 m — 1 



r c == c + G + c + 



n \ n n — 1 n — 2 



m — 1 to — 1 



-|- c +...+ Ç+l 



n — 3 



Sendo a<^n o numero de combinações nawem que pode ser re- 

 petido um só objecto, com tanto que em nenhuma combinação entre 

 mais de a vezes, é 



m — 1 TO — 1 TO — 1 TO — 1 



C+ C + C +...+ G 



n n—l n — 2 n — a. 



15. — Fazendo nas formulas (17) e (15) r=m, tem-se 



V~m to m — " m — 1 m ^s" - to — 2 



c = c+ cy c -t-c> c _+ 



jij n 1 / n — a, 2 / n — a — 6 



TO 



TO >. TO — p 



+ ...+ C > C ■.+ etc... (19) 



v sf t n — a — b... 



que da o numero de combinações n a n com repetição total. 



É fácil, porém, obter uma outra expressão mais simples d'este 

 mesmo numero. 



Para este fim formemos todas as combinações n a n sem repetição 

 entre os m objectos dados, que representaremos por a, b, c,...k, e 

 n — 1 outros objectos a v b v c v ã í ;...h í ; tendo o cuidado de dispor 

 em cada combinação os objectos por uma certa ordem, que pode ser a 

 alphabetica, dando sempre os primeiros logares áquelles objectos e os 

 últimos a estes. Feito isto tomemos uma combinação qualquer, por exem- 

 plo, 



bcde. , .b í d l 



e substituamos successivamente n'ella os objectos, b l e d v que occu- 

 pam o 2.° e 4.° logares, entre os n — 1 últimos objectos, pelos que na 



JORN. DE SCIENC. MATH. PHYS. E NAT. — N. XXIX. 2 



