18 JORNAL DE SC1ENCJAS MATHEMAT1CAS 



mesma combinação occnpam também o 2.° e 4.° logares a contar da 

 esquerda. Procedendo assim obteremos a combinação 



bcde. . .ce 



em que dois objectos c e e estão repetidos e, se tratarmos todas as ou- 

 tras combinações do mesmo modo, teremos formado as combinações dos 

 m objectos n a n com repetição total. 



Com effeito, entre as combinações dos m + n — 1 objectos não re- 

 petidos poderemos distinguir as que não contém nenhum dos n — 1 ob- 

 jectos, e as que contém somente um d'elles, dois., três,... ou todos. 

 As primeiras são as combinações n a n sem repetição dos m objectos. 

 As que contém 1 só dos n — 1 objectos transformam-se pela substitui- 

 ção indicada em combinações com 1 só objecto repetido e é evidente 

 que entre estas combinações nenhuma haverá que não possa obter-se 

 por este meio. Semelhantemente das combinações sem repetição, que 

 contém 2 dos n—X últimos objectos, resultarão todas as combinações 

 em que entram 2 objectos repelidos, e assim por diante até ás combi- 

 nações, em que entram todos os n — 1 objectos precedidos por um só 

 dos m objectos dados, as quaes pelo mesmo processo se converterão 

 em combinações de objectos eguaes áquelle dos m objectos por que 

 começarem. 



Podemos, pois, concluir d'este raciocínio que é 



T~m ~~] m -J- n ■ — 1 



C = C (20) 



16. — Comparando esta formula (20) com a formula (19) obtem-se 

 o seguiníe 



m-\-n — 1 TO TO \. TO — 1 TO \ TO — 2 



C== c+C> C + Cy C +etc.(21) 



que exprime uma propriedade curiosa das combinações sem repetição. 

 A formula (21) para w = 5, por exemplo, dá 



m-\-A m to /to — 1 to — 1 m — 1 to — 1 \ 



c= c+ cl C+ C+ C+ C)-f- 



5 5 1\ 3 2 1 0/ 



m /to — 2 to — 2 



-T C ( C +2X C 



2 V 1 



