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JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



Também se demonstra a involução dos seis pontos a, a!; b, b'; c, c' 

 pelas propriedades .das divisões bomographicas do seguinte modo: 



Os dois feixes x'dfía'c', xdeac são homographicos, visto que os 

 seus raios concorrem dois a dois nos mesmos pontos da recta gg'; e por 

 conseguinte cortados pela recta cc', offerecem as duas divisões anhar- 

 monicas eguaes a, e, a', d; a', e, a, c; e logo os cinco pontos a, a'; c, d; 

 e formam uma involução de que é duplo o ponto e. 



Se tomarmos os vértices y e y' teremos os dois feixes egualmente 

 homographicos y'g ! deb' e yg'deb, logo são homographicas as duas di- 

 visões a', a, e, b 1 e a, a', e,b,e por conseguinte os cinco pontos a, a'\ b, b'; e 

 formam outra involução, de que é também duplo o ponto e. Estão pois 

 em involução os três systemas de dois pontos a, a'; b, b 1 ; c, d . 



Reconhece-se também que o segundo ponto duplo / está na inter- 

 secção das rectas xx' eaa f ; ou também na intersecção das rectas yy' 

 e aa'; logo as três rectas aa', xx 1 e yy 1 concorrem no mesmo ponto. 



Prova-se de modo semelhante qne também concorre no mesmo 

 ponto a recta hh'. 



O ponto central pode obter-se projectando x, paralíelamente a aa', 

 sobre gg', e tirando d'esta projecção uma recta passando por x' até en- 

 contrar a recta aa'; ou projectando x' e unindo esta projecção com o 

 ponto x. 



Este processo dá logar á solução do seguinte problema: 



Dados três pontos sobre uma recta a, e, a', fig, 2, achar um quarto 



Fia. 2. 



