220 JORNAL DE SCIENC1AS MATHEMATICAS 



Or une simple vérification montre que ces quatre formes ont les 

 mêmes invariants i et j, par suite le même invariant absolu. 



III. — Les formes binaires bilinéaires, trilinéaires, quadrilinéaires 

 jouissent d'une autre propriété importante que nous allons démontrer 

 et qui est d'une grande utilité dans les applications géométriques: c'est 

 de pouvoir être ramenées à une forme symétrique à 1'égard des dife- 

 rentes séries de variables. 



Pour la forme bilinéaire, la démonstration géométrique est telle- 

 ment simple qu'il est presqu'inutile de s'y arrêter. 



Une forme bilinéaire pouvant étre représentée par trois groupes- 

 de deux points, concevons que sur deux droites X, Y on ait trois cou- 

 ples x L x % x v y^ 2 y r Les jonctions x L y v x^y A \ x 2 y 3 , y % x z \ x 3 y v y 3 x lr 

 se coupent en trois points situes en ligne droite. II suffira de proje- 

 ter les deux séries x^x^, y^J^Vv ^ un P omt °^ e cette droite, sur 

 une droite quelconque, pour avoir sur cette dernière deux ponctuelles 

 symétriques: on obtient ainsi la double substilution linéaire permettant 

 d'effectuer la substitution et cela d'une infinité de manières. 



Pour la forme trilinéaire, la démonstration est également fort 

 simple. 



Nous avons vu que l'on peut toujours ramener la forme trilinéaire,. 

 dont 1'invariant A est différent de zero, à la forme 



Nous supposons que les trois équations 

 aient respectivement pour racines 

 alors la forme employée plus haut est, explicitement, 



a m( x — WzKy— %X*i— v») + a m( x r~ s W (y— s 'iyH z — s \ z i)- 



Mais les trois formes 



ff o> a v a v 

 ont un même discriminant. 



