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Antrittsreden. 715 
Ich suchte das Problem weiter durchzuführen unter der Voraus- 
setzung, dass die Randlinien des Gebiets Kreise oder Kreispolygone 
sind. Die hier auftretenden Functionen haben aus mehreren Gründen 
Interesse. Erstens kann man Differentialgleichungen von einfacher Form 
aufstellen, denen sie genügen. Ferner lässt sich ihr Verlauf verfolgen 
über die Grenzen des Gebiets, wofür sie ursprünglich definirt sind. 
Dabei zeigen sie sich in speciellen Fällen als Functionen, die in ihrem 
ganzen Geltungsbereich eindeutig bestimmt sind, die aber die Eigen- 
schaft haben, bei linearen Transformationen der Variabeln in sich selbst 
überzugehen. Solche Funetionen nennt man heut automorphe. Ein 
charakteristisches Beispiel hatte schon Hr. Scuwarz gefunden in dem 
Kreisdreieck, dessen Winkel genaue Theile von zwei Rechten sind: 
ein anderes lieferte mir derjenige Bereich, der von lauter vollständigen 
Kreisen begrenzt ist. Dass übrigens Rırmann lange vorher diese Fune- 
tionen kannte, wird durch seine nachgelassenen Abhandlungen bezeugt. 
Die ganze Theorie der automorphen Functionen hat später Hr. Pommcart 
so vollständig entwiekelt, dass Andern und mir auf diesem Gebiete 
nur wenig zu thun übrig blieb. 
Zur direeten Untersuchung der Ager’schen Functionen selbst hat 
mir WEIERSTRASss die Anregung gegeben, der mir das Problem der 
Thetafunetionen von vier Variabeln vorlegte. Dafür, noch mehr aber für 
die Erziehung zur Einfachheit und Klarheit, die in seinen Vorträgen lag, 
bin ich Wrierstrass sehr verpflichtet. Zu jener Zeit lag die Theorie 
der algebraischen Functionen und ihrer Integrale als ein geschlossenes 
Lehrgebäude vor, in den Fassungen von Rırmann und von WEIERSTRASS: 
die Ausgangspunkte Beider liegen scheinbar von einander entfernt, 
die Ziele sind dieselben. Diese Theorien führen zur Definition der 
Aser’schen Functionen und der Theta, analytischer Gebilde, die zu- 
erst von Jacopı eingeführt waren, und über deren Grundeigenschaften 
von Anfang an kein Zweifel bestehen konnte. Indessen sind in Wirk- 
lichkeit gerade dureh die Definition der Thetareihen die Analytiker 
vor ein neues, wesentlich algebraisches Problem gestellt worden. Den 
elliptischen Funetionen, die von einer Veränderlichen abhängen, reihten 
sich an Functionen von beliebig vielen Veränderlichen. Aber diese 
sind unter einander verbunden durch vielfach verschlungene algebraische, 
Differential- und Functionalgleichungen, und es ist zunächst räthselhaft, 
wie ein und dasselbe System von Grössen so vielen Bedingungen gleich- 
zeitig genügen kann. Das Räthsel trat schon auf bei den elliptischen 
Funetionen; es wird dort gelöst durch einfache algebraische Betrach- 
tungen. Durchaus analog verhält es sich mit den Aser’schen Fune- 
tionen von zwei Variabeln, und allgemein mit denen, die man hyper- 
elliptische nennt. Es war nun mein Bestreben, durch genaue Unter- 
