846 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 30. Juli 1903. 
An jeder Stelle muss aber die hinzutretende Kraft die gleiche 
Arbeit, gleiche Erweiterung der Schwingung, dem Pendel zuführen, 
d.h. die Kraftwege müssen die gleichen sein. Nach dem Hvvenens- 
schen Gesetze sind diese die senkrechten Projeetionen der Bogen & 
auf die Schwingungsrichtung. Nach einem geometrischen, durch mehr- 
fache Anwendung des pythagoreischen Lehrsatzes leicht zu beweisenden 
Gesetze über concentrische Kreise und von einem Punkte aus darüber 
hinweggeschlagene Kreisbogen sind diese Projeetionen in der That 
einander gleich. 
Um die verschiedenen Zunahmen der Schwingungsdauer zu er- 
kennen, braucht man sich nur an die überall gleiche Winkelgeschwin- 
digkeit, d.h. gleiche Bogen bei gleichen Radien, zu erinnern. Man 
schlägt von ec’ aus mit dem Radius c’a’ = ca einen Kreis über die 
verschiedenen Winkel hinweg, überträgt die von diesen abgeschnit- 
tenen zwischen den Endradien der Bogen # liegenden Bogen 8 auf 
den von a ausgehenden Halbkreis, von den Anfangspunkten der be- 
treffenden Bogen & aus, auf. Es entspricht dann der zwischen diesen 
(2) und dem von den Endpunkten der Bogen & nach e gezogenen Ra- 
dien liegende, meist kleine Bogen y der gesuchten Zeitdifferenz. 
Man erkennt, dass y im ersten Theil der Schwingung positiv 
ist, in der Mitte gleich Null und im zweiten Theil negativ wird und 
schliesslich den grössten Betrag erreicht. 
Das umgekehrte gilt natürlich von negativen verzögernden Kräf- 
ten. Das Bild dafür erhält man ohne weiteres, wenn man die Figu- 
ren auf eine Schwingung von rechts nach links anwendet. 
Die graphische Darstellung giebt nicht nur eine allgemeine Be- 
antwortung der gestellten Frage, sondern auch eine lehrreiche Über- 
sicht der gleichzeitigen anderen Vorgänge während einer Pendelschwin- 
gung. 
In der Praxis handelt es sich immer nur um sehr kleine hinzu- 
tretende positive und negative Kräfte und nur minimale Ausschlag- 
änderungen. Dadurch rückt, wenn die hinzutretende Kraft nicht allzu 
kurz wirkt, ec’ nahe an c heran. Der Bogen y wird dann der Diffe- 
renz zwischen dem Radius ca und demjenigen des betreffenden Bo- 
gens &, und diese annähernd dem Cosinus des Winkels, den der mitt- 
lere Radius des letzteren zur Schwingungsriehtung bildet, proportional. 
Da dieser auch in der gleichzeitigen Entfernung des schwingenden 
Punktes von der Mitte, welehe wiederum der auf ihn einwirkenden 
Hauptkraft proportional ist, sich ausdrückt, so ist .also schliesslich 
für ein bestimmtes Pendel und eine bestimmte Schwingungsweite, die 
dureh eine kleine hinzutretende Kraft bewirkte Änderung der Schwin- 
Sungsdauer der Entfernung von der Mittellage und auch der Haupt- 
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