987 
Über einen Fundamentalsatz der Gruppentheorie. 
Von 6. FRoBENIUS. 
Die Ordnung einer Gruppe ist durch die Ordnung jedes ihrer Ele- 
mente teilbar. Diesen elementaren Satz habe ich in meiner Arbeit 
Verallgemeinerung des Srrowschen Satzes, Sitzungsberichte 1895, in 
folgender Art umgekehrt: 
I. Ist n ein Divisor der Ordnung einer Gruppe, so ist die Anzahl 
der Elemente der Gruppe, die der Gleichung X" — E genügen, ein Viel- 
Faches von n. 
Der dort geführte Beweis ist ziemlich umständlich und wenig 
durchsichtig. Zu einem naturgemäßeren bin ich erst gekommen, 
nachdem es mir gelungen war, den Satz zu verallgemeinern: 
II. Die Anzahl der Elemente einer Gruppe der Ordnung h, die der 
Gleichung X" = A genügen, ist durch den größten gemeinsamen Divisor 
von n und g teilbar, wenn g die Anzahl der mit dem Elemente A der 
Gruppe vertauschbaren, also - die Anzahl der mit A konjugierten Elemente 
der Gruppe ist. 
Oder einfacher: 
II. Ist A ein invariantes Element einer Gruppe und n ein Divisor 
ihrer Ordnung, so ist die Anzahl der Elemente der Gruppe, die der 
Gleichung X" = A genügen, ein Vielfaches von n. 
Wie im ersten Satze ist also die Anzahl der Lösungen kn. Es 
besteht aber der Unterschied, daß dort stets k > 0 ist, während hier 
auch k = 0 sein kann. Im letzteren Falle bedarf der Satz keines Be- 
weises; man kann daher bei seiner Herleitung stets voraussetzen, 
daß es in der Gruppe 5 ein der Gleichung X* = A genügendes 
Element X gibt. 
Es ist leicht, den Satz II, der den Satz II als besonderen Fall 
enthält, umgekehrt aus diesem abzuleiten. Denn wenn X* = A ist, 
so ist das Element X mit A vertauschbar, gehört also der Gruppe & 
an, die von allen mit A vertauschbaren Elementen von 5 gebildet 
wird. In dieser aber ist A ein invariantes Element. 
