988 Gesammtsitzung vom 5. November 1903. 
Ist g die Ordnung von 6, so ist X = E. Ist also d der größte 
. g n 
gemeinsame Divisor von n und g, so ist AT—= (X?) = E. Dafür, daß 
die Gleichung X"—= A eine Lösung besitzt, ist folglich die Bedingung 
Ai —= E notwendig (aber nicht hinreichend). Bestimmt man nun r 
und s so, daß nr-gs = d wird, so ergibt sich aus X" = A und X =E 
die Gleichung X? — A’, und umgekehrt aus dieser X" = (A’)@ = A (As) 
—= A. Da d ein Divisor von g, und A ein invariantes Element von & 
ist, so enthält & nach Satz III kd Elemente, die der Gleichung X — A’ 
genügen, und dies sind auch die sämtlichen Elemente von 5, welche 
die Gleichung X” = A befriedigen. 
8.2. 
Ehe ich zum Beweise des Satzes II oder III übergehe, will ich 
ihn noch weiter verallgemeinern: 
IV. Bilden die Elemente A,B,C,--- einen invarianten Komplex in 
einer Gruppe der Ordnung h, so ist die Anzahl der Elemente der Gruppe, 
die einer der Gleichungen X" = A oder B oder C--- genügen, durch den 
größten. gemeinsamen Divisor von n und h teilbar. 
Oder einfacher: 
V. Ist n ein Divisor der Ordnung einer Gruppe, worin die Elemente 
A,B,C..- einen invarianten Komplex bilden, so ist die Anzahl der Ele- 
mente der Gruppe, die einer der Gleichungen X" = A oder B oder C--- 
genügen, ein Vielfaches von n. 
Ein Komplex = A+B+C+..- von Elementen der Gruppe $ 
heißt ein invarianter, wenn er mit Jedem Elemente R von 5 vertausch- 
bar ist, AR = RN, oder wenn jeder der mit A konjugierten Komplexe 
R’AR—N ist. Ist also A in X enthalten, so ist es auch RAR. 
Durchläuft R alle Elemente von $, so bilden die mit A konjugierten 
Elemente R"AR einen invarianten Komplex einfachster Art, und jeder 
andere entsteht durch Vereinigung von mehreren solchen. Es genügt 
daher den Satz für invariante Komplexe zu beweisen, deren Elemente 
alle miteinander konjugiert sind. Die Bedingung für X kann in der 
Form X" < 4 geschrieben werden, d.h. die n® Potenz des Elemen- 
tes X soll in dem invarianten Komplex A enthalten sein. 
Ist g die Anzahl der mit A vertauschbaren Elemente von 9, so 
Ah. 
ist = die Anzahl der verschiedenen mit A konjugierten Elemente A, 
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X"’—A ist. Jede der F Gleichungen X" —= A oder B oder C-:: hat da- 
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