Frosenıus: Über einen Fundamentalsatz der Gruppentheorie. 989 
her gleich viele Lösungen, und zwar nach Satz II kd Lösungen, wenn d 
der größte gemeinsame Divisor von n und g ist. Zusammen Pi; sie 
demnach /!= ER Lösungen. Da d=nr-gs ist, so ist = PR z n—ksh 
durch den größten gemeinsamen Divisor von n und A teilbar. 
Der Satz IV kann aus V in derselben Weise erhalten werden 
wie der Satz II aus II. Bei dieser Herleitung kann man annehmen, 
daß A, B, C, :-- die mit A konjugierten Elemente von 9 sind. 
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Ich schicke dem Beweise zwei Hilfssätze voraus: 
VI. Ist die Ordnung des Elementes A einer Gruppe durch jede in 
n aufgehende Primzahl teilbar, so ist die Anzahl der Elemente der Gruppe, 
die der Gleichung X" —= A genügen, ein Vielfaches von n. 
Hier bedeutet A ein beliebiges Element von 9, nicht, wie in Satz II 
ein invariantes. Ist % dieOrdnung von A, so it X" —= A'=E. Ist aber p 
irgend eine in nk aufgehende Pan so geht p nach Voraussetzung 
nk k 
auch in k auf. Mithin ist X >= Ar von E verschieden. Daher ist 
nk die Ordnung von X. Beiläufig folgt daraus, daß A durch r (und 
sogar 9 durch nk) teilbar ist. Diese Eigenschaft, die bei den obigen 
Sätzen vorausgesetzt werden mußte, ist hier eine Folge der übrigen 
Bedingungen und der Annahme, daß die Gleichung X” —= A mindestens 
eine Lösung besitzt. 
Die Lösungen. der Gleichung X" = A teile ich in Klassen, in- 
dem ich zwei Lösungen zu derselben Klasse rechne, wenn jede eine 
Potenz der andern ist. Ist Z=1 (mod. k), so it XV =A'=A. 
Damit umgekehrt eine Potenz von X, Y=X’ der Gleichung F"—= A 
genüge, muß /=1 (mod. k) sein. Dann ist aber / zu n% teilerfremd, 
und mithin kann man m so bestimmen, daß /m =1 (mod. nk) und 
folglich X = Y" wird. Die Anzahl der (mod. nk) verschiedenen Lösun- 
gen der Kongruenz 7=1 (mod. k) ist gleich n. Daher besteht jede 
Klasse aus genau n Elementen, und folglich ist die gesamte Anzahl 
der Lösungen der Gleichung X” —= A durch n teilbar. 
Der Vollständigkeit halber beweise ich auch den andern Hilfssatz: 
VII. Eine kommutative Gruppe, deren Ordnung durch die Primzahl p 
teilbar ist, enthält ein Element der Ordnung p. | 
Sei A die Ordnung der kommutativen Gruppe 9, und p eine in A 
aufgehende Primzahl. Für Gruppen, deren Ordnung <A ist, sei der 
Satz bereits bewiesen. Sei A ein von E verschiedenes Element von 
9, k seine Ordnung, g eine in k aufgehende Primzahl. Dann ist 
