990 Gesammtsitzung vom 5. November 1903. 
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Aı = B ein Element der Ordnung g. Ist =, so ist der Satz be- 
wiesen. Im andern Falle sei ® die von den Potenzen von B gebil- 
dete Gruppe. Dann ist die Ordnung - der Gruppe & durch p teil- 
bar und <A. Daher enthält sie ein Element BC der Ordnung p, 
d.h. C? ist in ® enthalten, aber C nicht. Demnach ist die Ordnung 
von © entweder p oder pg. Im letzteren Falle hat ©? die Ordnung p. 
Einen anderen, ebenso einfachen Beweis für diesen Hilfssatz habe 
ich in meiner Arbeit Neuer Beweis des Srrowschen Satzes, Oreuues Journal 
Bd. 100, gegeben. 
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Die Sätze II—V sind, da aus jedem die andern folgen, nur ver- 
schiedene Formen eines und desselben Satzes. Für den Induktions- 
schluß, worauf ich den Beweis gründen werde, erweist sich der Satz V 
als die geeignetste Form. 
Sind r und s relative Primzahlen, so gilt der Satz V für den Ex- 
ponenten n = rs, falls er für die Exponenten r und s gilt. Denn sei 
A ein invarianter Komplex in $. Hat dann die Bedingung F'<QA 
keine Lösung, so hat auch die Bedingung X" <A keine, weil sich aus 
jeder Lösung X der letzteren die Lösung Y — X° der ersteren ergibt. 
Besitzt aber die Bedingung Y’< A Lösungen, so bilden sie einen in- 
varianten Komplex ®, und die Anzahl 7 der Lösungen der Bedingung 
X"<N ist gleich der Anzahl der Lösungen der Bedingung X’<®%. 
Diese Zahl ist aber nach Voraussetzung durch s teilbar. Ebenso be- 
weist man, daß / durch r teilbar ist. Sind also r und s teilerfremd, 
so ist Jauch durch n= rs teilbar. Demnach genügt es, den Satz V 
für den Fall zu beweisen, wo n = p’ eine in h aufgehende Potenz 
einer Primzahl p ist. 
Ferner setze ich ihn für jede (echte) Untergruppe & von 5 bereits 
als bewiesen voraus. Dann gilt für die Gruppe 6 auch der Satz IV. 
Ich teile nun die Elemente von $ in Klassen konjugierter Elemente 
S=-4A+B+C&+--.. Ist A nicht ein invariantes Element von 9, so 
bilden die mit A konjugierten Elemente einen Komplex A\=A+B 
+C+-:, dessen Ordnung a ist, und die mit A vertauschbaren 
Elemente von 5 eine Gruppe ®, deren Ordnung g<A% ist. Die Glei- 
chung X" = A hat in 5 dieselben Lösungen wie in 6. Nach unserem 
Induktionsschlusse ist diese Anzahl durch den größten gemeinsamen 
Divisor von n und g teilbar. Daraus folgt aber, wie in $ 2, daß die 
Anzahl der Lösungen der Bedingung X"<N ein Vielfaches von n ist. 
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