Frosentus: Über einen Fundamentalsatz der Gruppentheorie. 9 
Demnach ist für die Gruppe 5 nur noch der Satz III zu be- 
weisen. Ist n = p’, und ist die Ordnung des invarianten Elementes A 
durch p teilbar, so ergibt sich die Behauptung aus Satz VI. 
Die invarianten Elemente von 9, deren Ordnung nicht durch p 
teilbar ist, bilden eine Gruppe 7%, deren Ordnung f nach Satz VII 
nicht durch p teilbar ist. Die Anzahl der Lösungen der Bedingung 
X"<9S ist gleich Ah, also durch n teilbar. Ist B irgend einer der 
obigen Komplexe, der nicht in % enthalten ist, so ist auch die An- 
zahl der Lösungen der Bedingung X"<®B durch n teilbar. Folglich 
ist es auch die Anzahl der Lösungen der Bedingung X"<$%. 
Da n=p’ zu f teilerfremd ist, so kann man m so bestimmen, 
daß mn==1 (mod. f) ist. Ist dann A ein Element von $, so ist 
A/= E, und folglich ist, wenn A" —= B ist, B" — Ist also X" = A 
und X = BY, so ist, weil B ein invariantes Element von 9, also 
mit X und Y vertauschbar ist, Y" = E, und umgekehrt folgt aus 
Y"=E die Gleichung X"—= A. Die Anzahl / ihrer Lösungen ist 
also für jedes der f Elemente A von $% dieselbe. Der Bedingung 
X"<{5% genügen demnach fl Elemente von 9. Diese Zahl ist, wie 
oben gezeigt, durch n = p’ teilbar, während f nicht durch p teilbar 
ist. Folglich ist Z ein Vielfaches von n. Auch für den Satz I, den 
ich bei dieser Herleitung nicht benutzt habe, ist damit ein neuer 
Beweis ce 
