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 Et nous avons pour le terme u* n qui est la somme 

 de toutes les tailles. 



j 1 ) 2 ° + 2 <' ; ) 4. s ' 2 ) +v 3 2 < ft > 



n n-s n-Vs n-ds n-ks 



Or, ces sommes sont bien connues, ce sont les 

 sommes successives des nombres entiers et on 

 verra à la note I de ce mémoire, comment on les 

 obtient et comment on les exprime. 



En les exprimant en fonction de n d'après les 

 formules données, nous obtenons l'expression. 



(1) n n (n— 1) n(n— \){n— 2) n in— l)(n-^fe— 1) 



\ =1 + r+ï ^~ + r~T 3~ + r~2 1 — 



C'est, comme on voit, le développement du bi- 

 nôme de Newton pour(i + i) n =2 n . 



Cette série se terminera par un terme h tel que 

 le suivant k-\-i ait son dernier facteur nul ou bien 



n — k— o k~ n que nous écrirons 

 k=-5- puisqu'ici S=I 



Cette valeur de k==-f donne le nombre des ter- 

 mes en dehors du premier, c'est-à-dire le nombre 

 des tailles produites à la génération n par le frus- 

 tule initial a ; en comptant ce dernier, le nombe 

 total des tailles est i-f " 



Remarquons, enfin, en nous reportant à notre 

 première formule en fonction des sommes, que 

 pour une valeur concrète de n, le tableau nous 

 donne toutes les valeurs des sommes correspon- 

 dantes, il n'y a qu'à le lire à partir de u n en remon- 



soc. d'hist. natubelle de todlousk (t. XXXII/). 23 



