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Toutes ces sommes pourront s'exprimer à l'aide 

 des formules que nous en avons données plus 

 haut, mais il sera plus simple de les prendre sur le 

 tableau des sommes successives des nombres en- 

 tiers en remontant les cases du tableau à £- à partir 

 de la ligne u n ou en prenant successivement toutes 

 les cases qui sont au-dessus de cette ligne de 



o, S, 2 5, 3 S, nS cases, 



jusqu'à ce qu'on sorte du tableau. 



Le dernier terme k s'obtient par la formule 



K — s 



si n est divisible par S (au quel cas le dernier terme 

 est 1), si n n'est pas divisible par S, k s'obtient en 

 divisant par 5 le premier multiple de S inférieur à 

 n ou en prenant la partie entière de |- 



Cette décomposition des cellules par tailles est 

 exacte quelle que soit la valeur de S, entière ou 

 fractionnaire, dans ce dernier cas il faut forcer les 

 fractions des produits 



0, S, 2 S, 3 S nS 



Cela tient à ce que nous ne considérons l'état de 

 la colonie qu'à des périodes entières, arithméti- 

 quement croissantes. Il est donc indifférent au ré- 

 sultat qu'une cellule naisse au milieu d'une période, 

 tout se passe comme si elle naissait à la fin de cette 

 période. 



La totalisation des différences produites par la 

 partie fractionnaire de S se retrouve dans les pro- 

 duits n S qui en tiennent le compte qu'il faut. 



