Scuorrky: Thetafunctionen. 753 
Es ist ferner bekannt, dass nicht nur diejenigen algebraischen 
Ausdrücke von Interesse sind, die Aser’schen Functionen von unab- 
hängigen Argumenten entsprechen, sondern auch solche, und diese 
vielleicht in noch höherem Grade, die Aser’sche Functionen von be- 
schränkten Argumenten darstellen. Unter diesen beschränkten Werth- 
systemen der Variabeln erscheinen zwei besonders bemerkenswerth. 
Einmal kann man für jedes Argument je ein zugehöriges Integral, 
mit willkürlicher oberer und unterer Grenze, (x,y) und (x, y’), ein- 
setzen. Dadurch wird jedes ungerade ®, eine transcendente Function 
von (2,9%), welche im Punkte (x, y') und den p—ı Nullpunkten von 
du, verschwindet. Sie verschwindet aber in diesen Punkten nur von 
der ersten Ordnung, also nicht wie du,, sondern wie Ydu,. 
Hieraus ergiebt sich, dass die Quadrate der ungeraden Theta 
sehr einfachen rationalen Ausdrücken proportional werden; man kann 
Er 
setzen, wo 
vr. H,(a ’ Y) H,«, Y) 
ist. — Dadurch ist eine particuläre Lösung der Thetarelationen ge- 
geben, allerdings nur derjenigen Relationen, die zwischen den unge- 
raden Thheta bestehen. Diejenigen Ausdrücke S,, die den geraden Theta 
entsprechen, werden viel complieirter und sind für g>3 überhaupt 
noch nicht aufgestellt worden. 
Eine zweite wichtige particuläre Lösung erhalten wir, wenn wir 
für jedes Argument U eine Summe von p—ı entsprechenden Inte- 
gralen einsetzen, deren untere Grenzen mit den p—ı Nullpunkten 
eines Differentials du, zusammenfallen, das zu einer ungeraden Funetion 
©, gehört, während die oberen Grenzen willkürlich sind. Hierbei 
wird ©, identisch 0, so dass die Gleichung @, = 0 die Beschränkung 
darstellt, die in diesem Falle zwischen den Argumenten besteht. 
Nun gilt Folgendes. Wenn wir von den Producten 
= YH,H; 
diejenigen in eine Gruppe » zusammenfassen, bei denen die ent- 
sprechenden ungeraden Theta, ©, und @;, aus einander durch eine 
und dieselbe halbe Periode x hervorgehen — so dass H, = H,, ge 
setzt werden kann —, dann sind unter den Grössen w einer Gruppe 
genau p—ı linear-unabhängig und ihre Verhältnisse natürlich rational. 
Es kann daher aus den Wurzelfunctionen einer Gruppe x ein lineares 
Aggregat gebildet werden, das in p—2 vorgeschriebenen Punkten 
P', P" u.s. w. verschwindet. Wir wollen es mit YS, bezeichnen, da 
es die Quadratwurzel einer rationalen Function ist. S, ist vollständig 
