Scaorrky: Thetafunctionen. 755 
Setzt man zunächst: U=u-—w, indem man unter den w ein 
System von p willkürlichen Grössen versteht, so wird ©, eine Func- 
tion von x, y, die in p Punkten P’, P” u. s. w. verschwindet; und 
wenn man mit v’, v” u. s.w. die Werthe des Integrals v in diesen Punkten 
bezeichnet, so ist 
w=2()—k, 
wo jedes k von dem Grössensystem w unabhängig is. Nun kann 
man aber für w den Werth von u in irgend einem festen Punkte P, 
setzen. Dann fällt von den p Punkten P’, P” u. s. f. der eine mit P, 
zusammen, die andern mit den Nullpunkten von dw. Somit wird 
einer der p Werthe vo mit w identisch, und die p—ı übrigen werden 
gleich den Werthen a’, a” u.s. w., die vw in den p—ı Nullpunkten 
von dw, hat. Hiernach ist: 
k=X%(a), U=u+r!(a—!(v). 
Lässt man jetzt (x, y) mit einem der p Punkte P’, P” u. s. w. zu- 
sammenfallen, so verschwindet ©,, und U wird gleich einer Summe 
von p— 1 Integralen, deren obere Grenzen die Nullpunkte von du, sind. 
Die Grenzen können wir vertauschen; wir haben also zunächst 
den Satz: 
Setzt man in der ungeraden Function ©, für jedes Argument eine 
Summe von je g—ı entsprechenden Integralen, deren untere Grenzen 
die Nullpunkte von dw, sind, so verschwindet @,. Die oberen Grenzen 
sind hierbei ganz willkürlich. 
Um die algebraischen Ausdrücke zu erhalten, denen bei dieser 
Annahme über die Argumente die übrigen Theta proportional werden, 
wählen wir neben ©, noch eine zweite ungerade 'Thetafunetion aus, 
die wir ohne Index lassen; das zugehörige Differential sei du. 
Ferner nehmen wir einen der oberen Grenzpunkte, (x, y) oder 
P, als veränderlich, die übrigen: P’u.s.w. als fest an. Die Werthe 
von % in diesen p—2 festen Punkten wollen wir ‘wieder allgemein 
mit v, und die in den p—ı Nullpunkten von du, wieder mit a be- 
zeichnen. Endlich sei @,, dasjenige Theta, das aus ©, durch irgend 
eine halbe Periode x entspringt. 
Bilden wir bei diesen Annahmen: 
„(Neu —o) _ 
new—a) 
wobei U die Summe der ?—ı Integrale, also 
U=u+20—2a 
ist. Q, ist keine rationale Function von &, y — abgesehen von dem 
Fall, wo @,, mit ® identisch ist —, wird aber in eine rationale über- 
geführt durch Multiplication mit / 
”* 
