Scaorrev: Thetafunetionen. 757 
L(z,y,2) = 0 zu Grunde legt, die ich in der eitirten Arbeit in die 
Theorie eingeführt habe. 
Zunächst ist zu bemerken, dass zwischen den beiden Functionen 
L und M ein enger Zusammenhang besteht. Ist M(X,Y,Z) eine be- 
liebige ganze homogene Function vierten Grades der unabhängigen Ver- 
änderlichen X, Y,Z, so lässt sich die Gleichung 
I-== 3H352.2) 
rational auflösen, und zwar dadurch, dass man für X, Y, Z homogene 
cubische Functionen von drei unabhängigen Veränderlichen x, y, 2, für 
L ihre Functionaldeterminante einsetzt. (Einen speciellen Fall dieser 
Aufgabe bietet das bekannte Dreiecksproblem.) 
Dies wird am leichtesten bewiesen, wenn man sich die Gleichung 
M= o auf die irrationale Form gebracht denkt: 
VA+VB+VC=o, 
wo A,B,C Producte je zweier linearer Functionen von X,Y,Z sind. 
M(X,Y, Z) ist dann, bei unabhängigen Werthen von X, Y, Z, identisch 
mit der Norm des Ausdrucks: 
MX,Y,Z)=4#°+BP+0°—2AB—2AC—2BtC. 
Nun seien U, U,,V,V,,W,W, die Linearfactoren von A,B,C: 
A= UV, B=V/1,, C=WW.. 
Bestimmen wir drei Grössen x,y,2 durch die Gleichungen 
Ux+Vy+Wz=o, 
ke 
+-+4—=o, 
ey 2 
so sind dies in Bezug auf X, Y, Z lineare Gleichungen; sie lassen sich 
daher nach X, Y,Z dadurch auflösen, dass man X, Y, Z homogenen 
ganzen Functionen dritten Grades von x,y,2 proportional setzt; wir 
können X, Y, Z diesen eubischen Formen direct gleich annehmen. Aus 
der zweiten Gleichung geht hervor, dass alsdann U, eine durch « theil- 
bare cubische Function wird. 
Eliminirt man aber z und löst die resultirende Gleichung 
vV,’+UV, I +4A+B—C= oO 
u Yy 
nach y auf, so ergiebt sich: 
2 yHArB—0 =Y/M. 
Es wird daher YM mit einer ganzen Function sechsten Grades der un- 
abhängigen Veränderlichen x, y, 2 identisch. Dies ist die Function 2. 
