Scuorr«y: Thetafunctionen. 767 
in den Punkten x’, y’, 2’ u.s. w., von der dritten in den sieben Grund- 
punkten. Wie leicht zu sehen, sind die 28 Ausdrücke S, die einzigen 
der definirten Art, die in alternirende Factoren zerfallen, und zwar 
sind diese Factoren entweder vom dritten und sechsten oder vom 
vierten und fünften Grade. Geometrisch ist hiernach die Bedingung, 
der die vier Punkte P, P’, P”, P"” dadurch unterworfen werden, dass 
ein ungerades 'T'heta gleich oO gesetzt wird, vollständig klargelegt. Soll 
©, = 0 werden, so muss eine Ourve dritten Grades existiren, die durch 
die vier Punkte und ausserdem durch die sechs von & verschiedenen 
Grundpunkte hindurchgeht. Es existirt dann zugleich eine Curve 
sechsten Grades, die auch durch die vier Punkte hindurchgeht und 
für die & ein dreifacher, die übrigen sechs Punkte Doppelpunkte sind. 
Soll dagegen ©,; =0 sein, so liegen die vier oberen Grenz- 
punkte auf einer Curve vierter Ordnung, die «,8 zu Doppelpunkten 
hat und durch die fünf übrigen Grundpunkte einfach hindurchgeht. 
Es muss nun auch jedes lineare Aggregat von Quadraten unge- 
rader Theta einer Function S proportional sein, die sich linear durch 
die aufgestellten, $, und $,;, ausdrücken lässt. Unter diesen Grössen 
S giebt es allerdings noch eine, die in Factoren, und zwar besonders 
einfache, zerfällt. 
Die Bedingung, die zwischen den Thetafunctionen bestehen muss, 
wenn jedes Argument durch ein einziges der entsprechenden Integrale 
darstellbar sein soll, mit den Grenzen x,y,2z und «,y’,2’, hatte ich 
in meiner früheren Arbeit (Abriss, S. 46) in Determinantenform darge- 
stellt. Aber diese Determinante ist eine Thetafunetion neunten Grades, 
und Hr. Frogenıus wies darauf hin, dass sie durch die sieben Functio- 
nen: ®,,®,...©, theilbar ist. Wenn man diese Factoren absondert, 
so bleibt, als eigentliche Bedingung, eine Gleichung d(U) = o übrig, 
in der $(U) ein lineares Aggregat von Quadraten ungerader Theta be- 
deutet; und zwar ist #(U) dasjenige ganz bestimmte Aggregrat, in 
dessen Entwickelung nach aufsteigenden homogenen Functionen der 
Argumente das quadratische Glied fortfällt.' 
Dass dies richtig ist, ist unmittelbar zu sehen. Denn denken 
wir uns das Aggregat 
I. (0.0) = $(D) 
in der angegebenen Weise bestimmt, so, dass 
26.0; 
! Frosentus, Über die Jacosr’schen Functionen von der Variabeln (Urerre’s 
Journal Bd. 105). 
Sitzungsberichte 1906. 18 
