E. Lanpau: Über die Nullstellen Drricazer'scher Reihen. 897 
Über die Nullstellen Dirichıetscher Reihen. 
Von Prof. Enpmunnp LANDAU 
in Göttingen. 
(Vorgelegt von Hrn. Frosenius.) 
Einleitung. 
Im folgenden werde ich die überraschende Tatsache feststellen: Eine 
gewisse Eigenschaft der Rırmannschen Zetafunktion und der allgemei- 
neren Funktionen 
La=I 
(wo x,(n) ein Charakter modulo X ist) kommt sämtlichen Diricaterschen 
Reihen 
5 = 
nl 
zu, ja sogar sämtlichen Diricnuerschen Reihen des allgemeineren Typus 
2 a,e"n® (Hu. <u<eH n>o). 
(2) 2 | 
Dies war darum nicht zu erwarten, weil die für C(s) und L(s) vor- 
handenen Beweismethoden ganz spezielle Eigentümlichkeiten dieser 
Funktionen benutzen, welche offensichtlich den beliebigen DiricHLET- 
schen Reihen fehlen: Die Existenz der Funktion in der ganzen Ebene; 
die Funktionalgleichung zwischen den Werten für s= ak und 
l-s; die dadurch hervorgerufene Nichtexistenz von Nullstellen in der 
Halbebene 6<0 außerhalb der reellen Achse; das Hineingreifen der 
Gammafunktion; die Anwendbarkeit der Hapamaroschen Theorie der 
ganzen Funktionen usw. : ; 
Es bezeichne A(T) die Anzahl der Nullstellen von L(s) im Gebiet 
°>0, T<t<T+1; es bezeichne N(T) diese Anzahl für das Gebiet 
°>0, 0<t<T(T>0), so daß 
(3) A(T) = N(T+1)-N(T) (T> 0) 
