898 Gesammtsitzung vom 23. October 1913. 
ist. Dann ist bekanntlich 
(4) A(T) = O.(logT), 
also a fortiori 
(5) N(T) = O(TlogT) 
und, wenn > die Nullstellen der Viertelebene *>0, T>0 durchläuft, 
die Reihe 
5 
(6) PArıcr 
8 
für jedes e>(0 konvergent. 
Von dem schärfsten über N(T) bekannten Satz 
(7) NT) = „-Tlog T+ BT+ 0 (log T), 
wo B eine von k und vom Charakter %,(n) abhängige Konstante be- 
zeichnet, soll hier nicht die Rede sein; übrigens folgt (4) wegen (3) 
aus (7), während umgekehrt jeder vorhandene Beweis von (7) erst 
den Nachweis von (4) erfordert; für diesen bereits waren eben die 
obengenannten speziellen Kenntnisse über das Verhalten der Funktion 
in der ganzen Ebene bisher stets benutzt worden. 
Um (4), wobei für die Hauptanwendung (6) statt O (log T) auch 
O(log“T) genügt, handelt es sich in der vorliegenden Abhandlung. 
Es ist leicht ersichtlich, daß die Eigenschaft (4) nicht jeder für #>0 
konvergenten Diricazerschen Reihe! zukommen kann. Denn man nehme 
(vom trivialen Fall a =a,—.:. — 0 natürlich ganz abgesehen) eine 
für |x|<1 konvergente Potenzreihe 
h=0 
mit unendlich vielen Nullstellen im Konvergenzkreis, die sich etwa 
i & E 1 
in 1 häufen, z.B. sin j_,; man setze alsdann © = 2°". Die so 
entstehende Dirıcanıersche Reihe 
u: 5 a b; 
TE Eee ae 
' L(s) ist für jeden Nichthauptcharakter eine für »>0 konvergente DirıcaLersche 
Reihe. Für den Hauptcharakter (bei Ak = 1 ist hiermit von C(s) die Rede) zwar nicht; 
; 2 en © 
aber dann ist (1-2 L(s) eine solche, und die durch den Faktor In hereinge- 
2vri 
brachten Nullstellen 1-+ 062 (v ganz) ändern nichts an der Relation (4)- 
