E. Lanvpauv: Über die Nullstellen Dirıcnter’scher Reihen. 899 
hat für c>0, T<? <= T+1, wenn ein Multiplum von . dem Inter- 
vall T<t<T+1 angehört, unendlich viele Nullstellen, im Beispiel 
—- log (i _ a + 2vmi 
die Punkte —— (A positiv-ganz). 
log 2 
Aber bei ((s) ha den übrigen L(s) liegen ja die Nullstellen der 
Halbebene o>0 symmetrisch zur Geraden c = ir Der obige Satz (4) 
ist also gleichwertig mit der Tatsache, daß bei irgendeinem ö>0, das 
< ist, für die Anzahl der Nullstellen des Gebietes e>8, T<t< T+1 
die Abschätzung O (log T) gilt. Diese Eigenschaft meinte ich in den ersten 
Worten der Einleitung. 
Ich werde sie bei jedem d>0 in $ ı mit O (log T) für den Typus (1), 
im $ 2 mit O (log’T) für den allgemeineren Typus (2) beweisen; der 
genaue Wortlaut dieser Sätze wird zu Beginn jedes dieser beiden 
Paragraphen angegeben werden. Der Beweis des $ ı ist auf Grund 
einer allgemeinen funktionentheoretischen Relation des Hrn. Jensen vom 
Jahre 1899 ganz kurz. Der Beweis des $ 2 benutzt außerdem ein Er- 
gebnis des Hrn. Prrron vom Jahre 1908 über Dirıcazersche Reihen 
des allgemeinen Typus (2). 
Im $ 3 werde ich den tieferen Grund der in der Dissertation des 
Hrn. J. Grossmann (Göttingen 1913) festgestellten Tatsache auseinan- 
dersetzen, daß bei allen L(s) 
A(T) 
log T . 
(8) lim sup 
ae 00 
ist, wo « eine absolute, von k und x,(n) unabhängige Konstante ist. 
Dies folgt natürlich nicht aus (7) wegen des Gliedes O0 (log T) am 
Schluß; allerdings konnte Hr. Grossvann ohne Überwindung prin- 
zipieller Schwierigkeiten nach der alten Methode aus (8) schließen, 
daß bei allen ZL(s) sogar" 
1 ' Bf al 
at —-B1l 
INN)-,, 71081 | 
re 
(9) 
<p 
ist, wo 8 eine absolute Konstante bezeichnet. Von der Grossmansschen 
Arbeit ganz abgesehen: Im $ 3 werde ich den tieferen Grund dafür 
auseinandersetzen, daß (was in (7) steckt) bei allen L(s) 
N(T) 
(10) Bm pt Tr 
—__ 
' Aus (9) folgt rückwärts wegen (3) wieder (8). 
