E. Lanpau: Über die Nullstellen Diricaer’scher Reihen. 901 
genügt also der Relation 
N(T)=0(TlogT); 
wenn ferner der Halbebene « 2 o,+d unendlich viele Nullstellen an- 
gehören, ist (die eventuelle Nullstelle 0 fortgelassen) die Summe ihrer 
(1+ e)ten Potenzen für jedes e>0 absolut konvergent. 
Beweis: Es hat bekanntlich jedes hinreichend große o, die Eigen- 
schaft, daß für e >, die Funktion f(s) nicht verschwindet und für 
e=6, 
(13) /(s)l>n 
ist, wo n>0 ist, und zwar von o,, aber nicht von t abhängt. In der 
Tat sei a; der erste nicht verschwindende Koeffizient; die Reihe (12) 
ist für c = 0,+2 absolut konvergent; für e>o,+2 ist also 
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Fa > Ki ed 
ne not? nr? hr’ (h+ I not? 
n—h+1 =1 
hr 
für alle hinreichend großen o ist daher (wegen lim 7, 7jr — 0) 
| _ 1 ll _ Tal _ 
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Ich wähle c, zugleich so groß, daß 1,>0,+ und 
1 
rz= Vla-@+ 9% +4<n-0 
ist; das ist wegen 
lim (Ve-ws +7 -(e-l +3) -0 
IT. 
möglich und bedeutet, daß (für alle 7) der Kreis mitt ,= 0, + ( T+ +); 
als Mittelpunkt, der durch die Punkte *,+9+ Ti und ++ T+1)i 
geht, die Gerade « = o, nicht trifft. 
5, ist von T unabhängig. Ich wähle ein gleichfalls von T un- 
abhängiges q9>1 so, daß sogar 
l 
= ıV a -(s+9y +7 <a 
ist, 
Die Relation (11) werde nun auf die beiden Kreise mit den Radien 
r und gr um s, angewendet. Da der kleinere Kreis das Rechteck 
n+e<c< o,, T<t<sT-+1 enthält, und da rechts von o = o, keine 
Nullstellen liegen, ist jedenfalls 
log er 
AM)SIETgg; 
