: 
4 
= 
2 
: 
4 
E. Lanpau: Über die Nullstellen DirıcaLer’scher Reihen. 905 
Es braucht wohl kaum besonders betont zu werden, daß die Be- 
weise der Sätze ı und 2 dasselbe Ergebnis über A(T) auch für ein 
links von der Konvergenzgeraden der Dirıchterschen Reihe liegendes 
o, liefern, wenn nur für 6>o,, t>t, die Funktion regulär ist und 
für 6 > 0,+. die Form O(T*) hat!. In diesem Sinne bedarf es für 
£(s) nicht erst der Multiplikation mit 1 =, ‚ um aus der Beweismethode 
dieser Arbeit (4), (5) und (6) zu erschließen. Wird o,<0 genommen, 
so erhält man sogar ohne Benutzung der Funktionalgleichung sofort 
diese Relationen für den ganzen Streifen O<e sl. 
Sehr zu beachten ist, daß im Gegensatz zu den üblichen Unter- 
suchungen über C(s) und L(s), die auf der Produktdarstellung und 
der für die logarithmische Ableitung gültigen Diricnzerschen Reihe 
einfacher Bauart fußen und somit gerade auf die Nullstellen zielen, 
die Zahl 0 im Wortlaut meiner Sätze gar nicht bevorzugt ist, da ja 
f(s)-a wieder eine Disıcntersche Reihe ist. Sie sind also für jede 
nicht konstante Dirrentersche Reihe und die Menge ihrer a-Stellen 
wahr. Also z. B.: die Anzahl der Wurzeln der Gleichung 
ii ı ı 1 203 i 3 101 
ee RE de et aha Zei ae Er 100 
| -». 17 % (+ +7ge 180 =) % (sr rap ge 97 
im Rechteck —< e<-, T<t<T-+1 ist O(logT). 
Ich will noch ein klassisches Beispiel von Reihen des Typus (1) 
nennen, bei dem sich Neues ergibt. Man weiß nicht, ob die Zeta- 
funktion [,(s) eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers «, dessen 
Grad v heiße, in der ganzen Ebene existiert. Man weiß nur, daß 
sie bis auf den Pol s—= | fürc>1 _ regulär ist, indem S(s)-9%(8) 
bei passender Wahl der Zahl g dort regulär und in eine DikichLET- 
sche Reihe entwickelbar ist. Für e > 1-— +8 ist also 
| u) = 0) 
Folglich ist nach dem obigen Ergebnis speziell, wenn unendlich viele 
Nullstellen der Halbebene e >1- 5 (also dem Streifen 1 - Em 0-1) 
angehören, die Summe ihrer reziproken Quadrate absolut konvergent. 
Rıesz 1909 bewiesen haben, 
! Übri ‚B.. wie die Hrn. H. Bonur und M. 
rigens hat z.B., wie die Hrn Dresicha. 
die Grenzabszisse +, der Summabilität einer Reihe (1) die genannte 
