Frogentus: Über quadratische Formen, die viele Primzahlen darstellen. 969 
nicht durch g teilbar, und von den beiden Zahlen (d und g—b) zwi- 
schen 0 und 9, deren Quadrat = D (mod g) ist, ist die eine ungerade und 
<ısY ta. Für diesen Wert z ist m> (1 + a>yta>g. 
Demnach muß D Nichtrest von 3 sein, d=1 (mod 3), und dies 
ist hinreichend, solange d<75 ist. Ist aber d>75, so muß D außer- 
dem Nichtrest von 5 sein, d=+1 (mod 5), und dies reicht hin, so- 
lange d< 147 ist. Ist aber d>147, so muß D noch Nichtrest von 
7 sein usw. Auf diesem Wege ergeben sich die Werte 
ne 19 43 67 163 
und jedenfalls bis 10000 keine anderen. 
S 2. 
Indefinite Formen. 
* Dieselbe Untersuchung soll jetzt auch für positive Diskriminanten 
D = 1 (mod 4), die >9 sind, durchgeführt werden. Es wird voraus- 
gesetzt, daß m — +(D-2) für alle ungeraden Werte 2 < VD eine 
Primzahl ist. Wäre D ein Quadrat, so wäre (D- 1?) zusammen- 
gesetzt. Wäre D — pgr ein Produkt von drei Faktoren, deren kleinster 
p (Z 3) ist, so wäre 7(D -p’) = (gr -p)p>p keine Primzahl. Mit- 
hin ist D entweder eine Primzahl (der Form 4n + 1) oder ein Produkt 
von zwei verschiedenen Primzahlen, 
Die größte der Primzahlen m ist die in der Einleitung benutzte 
Zahl = — D-1). Um die kleinste zu erhalten, bezeichne man mit p 
die größte ungerade Zahl unter VD. Dann ist die kleinste Zahl m gleich 
1 1 2 
7(D-p?), außer wenn diese Zahl gleich 1 ist, sonst ;(» -(p -?°)). 
Im ersten Falle ist 
(1.) D=p’+4 
und (D- (p-2)’) = p die kleinste Primzahl m. Es läßt sich nun 
zeigen, daß m auch eine Primzahl ist, solange 2 <3p - 2 ist, während 
rzs—-3pr2 m- p(2p # 3) ist. Die hier auftretenden Faktoren 
2p-3 und 2» +3 sind, ebenso wie D selbst, Primzahlen. Für jede 
dieser Zahlen weist Remax einzeln nach, daß die Annahme ihrer Zer- 
legbarkeit auf einen Widerspruch führt. 
