Frogenıus: Über quadratische Formen, die viele Primzahlen darstellen. 971 
durch g teilbar. Denn es gibt einen ungeraden Wert z<g< y. D 
<p, für den m durch g teilbar ist, und wenn nicht m = | ist, so 
ist mzp>g4. 
Demnach muß D Nichtrest von 3 sein, D= -1 (mod 3), und dies 
ist hinreichend, solange D < 100 ist, usw. So ergeben sich die Werte 
ee. 21 29 53 77 173 293 437 
und bis 10000 keine andern‘. Noch für 173 reicht die Betrachtung 
der Primzahlen qg = 2,3 und 5 allein aus. 
Die Bedingung 49°” < D lautet im Falle (1.) qg< —( p+!) und 
im Falle (2.) g< —i p+3). Es ist Remax entgangen, daß im zweiten 
Falle —( p-+1) gerade [vgl. (3.)], also keine Primzahl ist. In beiden 
Fällen genügt es demnach, wenn qg< 5 p ist. Es ergibt sich also 
das Resultat: 
I. Sei D= p?+4, wo pund D Primzahlen sind; oder sei D= p(p+4), 
wo p und p+4 Primzahlen der Form 4n+3 sind. Ist dann D Nicht- 
rest von jeder ungeraden Primzahl q < > p, so ist > (z2’- D) eine Prim- 
zahl, solange die ungerade Zahl z im ersten Falle <3p-2, im zweiten 
<3p ist. 
Vergleicht man die gefundenen Werte für negative und positive 
Diskriminanten -d und +D, 
! 7. 11.10 AB 0 08 
9 == 48 21: 29: 53. 77 173 293 437, 
so erkennt man, daß außer für d=7 stets d+10 ein Wert von D 
ist. Diese merkwürdige Erscheinung erklärt sich so: Da d= 3 (mod 8) 
ist (außer für d— 7), so ist d+10 =5 (mod 8). Ist ferner = 27. 
so ist d=1 (mod3), also d+10 =-1 (mod 3). Ist d>75, so ist 
d=+1(mod5) und mithin auch d+10. Daher ist auch für die Zahl 
d= 163, die Nichtrest von g=7 ist, D=173 eine geeignete Zahl, 
weil sie <196 ist und daher keiner Bedingung (mod 7) zu genügen 
braucht. 
Ich gehe nun zu meiner eigenen Ableitung, dieser und allge- 
meinerer Ergebnisse über und will gleich hier noch einen andern Be- 
weis der Formeln (1.) und (2.) anschließen. Wir haben gesehen, daß 
D entweder eine Primzahl oder ein Produkt von zwei verschiedenen 
Primzahlen ist. Im ersten Falle läßt sich D= p’+(2s)’ in eine 
a 
! Die Diskriminante der von Speekmann, @RUNERTS Archiv, Reihe II, Teil 16, 
3.335, erwähnten Form — x? + 72 +7 ist 77. 
Sitzungsberichte 1912. = 
