978 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 17. October 1912. 
l<. ec, so wäre & eine von den 4 Formen (4.) verschiedene reduzierte 
Form, außer wenn a = p ist. Daher ist 
(7.) : ESTER, 
Ich betrachte zuerst den Fallc—=1 und zeige, daß a —=p oderp+1 
sein muß, wenn I<a<2p-I1 ist. Dann liegt 5’= p’+4p+ ea 
zwischen p?+4p-+4e und p’+4p + 4:(2p-1), also für e=+l 
zwischen (p + 2)? und (p + 6)°, und füre—=-I zwischen (p + 2)' 
und (p- 2)’. Zwischen p + ?2 und p + 6 liegt aber nur eine ungerade 
Zahl |b|. Für e= +1 ist daher öl=pr+4,a=p+4 für e=-I 
aber |B|=p, a=p. 
Jetzt sei e>1, und sei a die kleinste Zahl nächst 1, die dureh 
|p| darstellbar ist. Da nach (7.) e <a ist, und da c durch |y| dar- 
stellbar ist, so ist e—=1, also a=p. Folglich ist jede durch |g]| dar- 
stellbare Zahl m < p? eine Primzahl, z. B. die Zahlen (6.). Auchp+? 
wäre eine Primzahl, wenn es durch |y| darstellbar wäre. Da aber 
p,p+2,p+4 ein vollständiges Restsystem (mod 3) bilden, so ist 
p+2 durch 3 teilbar, und mithin ist p + 2 nicht durch || darstell- 
bar, sondern nächst p erst p+ 4. 
Ist a die kleinste Zahl nächst p + 4, die durch pl darstellbar 
ist, so ist nach (7.) e=1, poder p+4. Istce=|1, so ist a=2p-I. 
Ist c=p, so ist nach der Gleichung 
(p-21)?-4cac = p(p+4) 
! dureh p teilbar, und nach (7.) ist px!<a=s2p-|, also ist = P» 
a=1. Iste=p+4, so ist +2 durch p+4 teilbar und p+! 
<I<2p-1, also p+4<1+2<2(p-+4), während zwischen diesen 
Grenzen keine durch p-+4 teilbare Zahl liegt. Aus diesen 
nissen folgt: ; 
L. Jede Zahl der Form y — &° + pay -py°, die absolut <(2p-) 
und nicht durch p oder p+4 teilbar ist, ist eine Primzahl. 
Setzt man y=1,2—=2x+p, so wird 4 (2-D) eine Primzahl, 
wenn z ungerade, und 2?<p(p+4)+4(2p- 1)? ist, außer für ? 7 .: 
und 3(p-+4), wo es ein Produkt von zwei Primzahlen p(2Pp- u = 
(p +4) (2p +9) ist. Übrigens ist (4p-1)’ <p(p+4)+# (2p-)> 
das Gleichheitszeichen gilt nur für p = 3. 
U. Ist z ungerade und p>3, so ist z (2’- D) ewe Primzahl 
wenn z<4p+1 ist, außer für z— 3p und 3(p+4). 
I. It 2<2p+1(p>3), so ist a -x- = (p? + p-)) 
Primzahl, außer für «= (3p+1) und x = — (3p+B3). 
ein? 
und 
