Frosenius: Über quadratische Formen, die viele Primzahlen darstellen. 979 
Geeignete Werte sind 
p a Se Sr ij 19 
DEE ETTETT EI 
D ee RR ai a 1 0 
Aus der Lehre von den Geschlechtern folgt, daß g nur Reste, 
-g nur Nichtreste von p oder p + 4 darstellt. Daher ist - 1 Nichtrest, 
p=4n+3. Man kann dies auch so einsehen: Ist p= 4n +1, so läßt 
sich D = b?+ (2a)? als Summe von zwei Quadraten darstellen, und U = 
(a,b, -a) ist eine Form der Diskriminante D. Da (a,b, ec) w (c,—b, a) 
ist, so ist VW co -\. Nun ist X einer der beiden Formen y oder - y 
äquivalent, also — \) der andern. Daher wäre go -gYwy, während 
sie verschiedenen Perioden angehören. 
Da 2??=-p (mod p +4) und 2?=p+4 (mod p) ist, so kann 
p+4 nur durch y, p nur durch — dargestellt werden. 
In derselben Weise, nur noch einfacher, läßt sich der Fall 
(8.) D=p’+4 
erledigen. Die Form 
(9.) e= (hp. 
bildet mit p' —= (-1, p, 1) eine Periode reduzierter Formen. Setzt 
man also die Klassenzahl gleich I voraus, so sind 9 und p' die ein- 
zigen reduzierten Formen. Da auch -g®y sein muß, so ist mit 
m auch immer — m durch y darstellbar, ebenso jeder Divisor von m. 
Nur ungerade Zahlen können durch y dargestellt werden, z. B. 
(10) e(,)=p, 91, )=2p-3; ga, )=2p+3, R,=PD. 
Unter den durch yp darstellbaren Zahlen sind 1, p und 2p-3 die 
kleinsten. Daraus folgt: | 
IV. Jede Zahl der Form x” + pxy-y’, die absolut < (2p - 3)" 
und die nicht durch p teilbar ist, ist eine Primzahl. 
Insbesondere gilt dies für die Zahlen (10.). 
Setzt man y=1, 22 +p=2, s0 wird 4y = ee Ist also z 
ungerade und 2?<p?+4+4(2p-3)’, so ist p eine Erb oder 
durch p teilbar. Im letzteren Falle ist ?= D=4 (mod p), also de 2, 
Für 2= p+2 ist — +p eine Primzahl. Für z = 3p +2 ist p — 
P(2p +3) ein Produkt von zwei Primzahlen. Der Wert 2 = er —2 Be 
Schon zu groß. Ich bemerke noch, daß (4p - 5)? <p’+4+4(2p-3) 
ist, falls p> 5 ist. 
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Sitzungsberichte 1912. 
