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 Die Gaußsehen Untersucliungen. 



Allgemeine Formeln über konforme Abbildung und Vergrößerungsverbältnis. 

 Ableitung der Abbildungsgleicbungen. 



In seiner Arbeit „Allgemeine Auflösung der Aufgabe: Die Teile etc."^) gibt Gauß 

 die Gleichungen an, die mau für die konforme Abbildung des ganzen Erdellipsoids auf die 

 ganze Kugel erhält. Weiter leitet er auch allgemeine Formeln für das Vergröiserungs- 

 verhältnis etc. bei einer konformen Abbildung ab. Um eine in sich geschlossene Arbeit 

 zu ei'halten, sei es gestattet, seine Gedanken und Resultate in aller Kürze zu wiederholen. 

 (Im Interesse einer einheitlichen Bezeichnung mußten wir allerdings die Gaußsche Bezeich- 

 nung und auch die Anordnung des Stoffes großenteils abändern.) 



Gauß denkt sich die zwei gegebenen Flächen in Parameterform vorliegend: 



1. Fläche X = cp{u, v) y = yj{u, v) z = x{u, v) 



2. Fläche X = $(C/,F) Y =^ W{U,r) Z = X{U,r). 



X, y, z resp. X, Y, Z sind rechtwinklige Koordinaten; u, v resp. TJ, V Parametergrößen. 

 Soll die 1. Fläche auf die zweite nach irgend einem Gesetz abgebildet werden, so heißt 

 das, U und V sind irgend welche noch zu bestimmende Funktionen von m und v. Be- 

 kanntlich ergibt sich dann als Quadrat des Linienelements ds auf der ersten und dS auf 

 der 2. Fläche: 



ds^ = edu^ -f- 2fdudv -\- gdv^ 



dS^ = Edu^ + 2 Fdudv + Gdv^, 

 wobei: 



e = op°u + W°n -\- yJ' f='Pu'pv + ^'„y'v + '/.„Zv 9 = (po+wl + li 

 E=<P:-,+ W;.+ Xf, F = 0„ ^\ + W„ W, + A'„ X„ & = ^; + Wi + \l . 



Die Indizes ii und v deuten dabei die Differentiation nach diesen Größen an. 

 Soll also 



1/: 



dS l/Edu^ + 2Fdudv+Gdv'- 



ds ^ edu^ -\- 2fdudv -{■ gdv^ 



unabhängig von der Fortschreitungsrichtung -=~ werden, wie es ja die konforme Abbildung 



verlangt, so muß sein: 



1) e:f:g = E:F:G. 



Durch Rechnung findet man, daß beim Bestehen der Gleichung (1) von selbst die 

 zweite Bedingung der Konformität (Gleichheit der Winkel bei der Abbildung) erfüllt wird. 



Für ds" = Q muß e = f=g^O sein, also auch E= F ^ G = 0. Das heißt aber: 

 „Bei der konformen Abbildung gehen Minimalkurven in Minimalkurven über." Dieser 

 Satz gilt auch umgekehrt^). 



1) Loc. cit. (cf. Vorwort). 



2) Vgl. z. B. Sclieffers, Einleitung in die Theorie der Flächen. Leipzig 1902, S. 73. 



